Cho $4$ số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2=c^2+d^2$. Chứng minh rằng $a+b+c+d$ là hợp số
Cho $4$ số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2=c^2+d^2$. Chứng minh rằng $a+b+c+d$ là hợp số
#1
Đã gửi 12-07-2015 - 12:36
#2
Đã gửi 12-07-2015 - 12:39
Cho $4$ số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2=c^2+d^2$. Chứng minh rằng $a+b+c+d$ là hợp số
Đã có TẠI ĐÂY
- grigoriperelmanlapdi yêu thích
#4
Đã gửi 12-07-2015 - 15:13
$(a^2+b^2+c^2+d^2)-(a+b+c+d)$ chia hết cho 2
Lại có $a^2+b^2+c^2+d^2=2(a^2+b^2)$ chia hết cho 2
Suy ra $(a+b+c+d)$ chia hết cho $2$ tức $a+b+c+d$ là hợp số
- grigoriperelmanlapdi và Element hero Neos thích
#5
Đã gửi 12-07-2015 - 18:38
bạn có biết tại sao bạn thosan145 biết cách xét $( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 ) - ( a + b + c + d)$ đẻ tìm ra lời giải không chỉ mình với
Kĩ thuật đó không quan trọng lắm, để hiểu cái này thì em có thể thử thay 2 bởi p, và sau đó p bởi $p^n$. Em nên học lí thuyết đồng dư thì sẽ hiểu tại sao người ta cho đề bài như vậy. Ở đây người ta luôn biết một điều là $a=a^p$(mop p) với p nguyên tố nên đẳng thức trên tương đương a+b=-c-d(mod 2). khi đó thì $a+b+c+d=0$(mod 2). Trường hợp tổng quát sẽ hơi khác tí.
- grigoriperelmanlapdi yêu thích
#6
Đã gửi 19-07-2015 - 16:16
Cho $4$ số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2=c^2+d^2$. Chứng minh rằng $a+b+c+d$ là hợp số
Một kết quả tổng quát : Cho $4$ số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2=c^2+d^2$. Chứng minh rằng $a^{k}+b^{k}+c^{k}+d^{k}$ là hợp số với mọi số nguyên dương $k$.
Giải
Vì $a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$ nên dễ cm $ab=cd$
Gọi $m$ là $ƯCLN$ của $a$ và $c$.
Đặt $a=a'.m;c=c'.m$ thì $\left ( a';c' \right )=1$
Ta có : $a'.m.b=c'.m.d\Rightarrow a'.b=c'.d\Rightarrow a'b\vdots c'$
Do $\left ( a';c' \right )=1$ nên $b\vdots c'$
Đặt $b=nc'$ thì thay vào đẳng thức $a'b=c'd$ ta có: $d=na'$
Từ đó:
$a^{k}+b^{k}+c^{k}+d^{k}=a'^{k}.m^{k}+c'^{k}.n^{k}+c'^{k}.m^{k}+n^{k}.a'^{k}=a'^{k}(m^{k}+n^{k})+c'^{k}(m^{k}+n^{k})=(a'^{k}+c'^{k})(m^{k}+n^{k})$
Vì $a+b+c+d$ có 2 thừa số là $(a'^{k}+c'^{k})$ và $(m^{k}+n^{k})$ đều lớn hơn $1$ nên là hợp số
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 19-07-2015 - 16:17
- grigoriperelmanlapdi yêu thích
#7
Đã gửi 19-07-2015 - 23:07
Một kết quả tổng quát : Cho $4$ số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2=c^2+d^2$. Chứng minh rằng $a^{k}+b^{k}+c^{k}+d^{k}$ là hợp số với mọi số nguyên dương $k$.
Giải
Vì $a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$ nên dễ cm $ab=cd$
Gọi $m$ là $ƯCLN$ của $a$ và $c$.
Đặt $a=a'.m;c=c'.m$ thì $\left ( a';c' \right )=1$
Ta có : $a'.m.b=c'.m.d\Rightarrow a'.b=c'.d\Rightarrow a'b\vdots c'$
Do $\left ( a';c' \right )=1$ nên $b\vdots c'$
Đặt $b=nc'$ thì thay vào đẳng thức $a'b=c'd$ ta có: $d=na'$
Từ đó:
$a^{k}+b^{k}+c^{k}+d^{k}=a'^{k}.m^{k}+c'^{k}.n^{k}+c'^{k}.m^{k}+n^{k}.a'^{k}=a'^{k}(m^{k}+n^{k})+c'^{k}(m^{k}+n^{k})=(a'^{k}+c'^{k})(m^{k}+n^{k})$
Vì $a+b+c+d$ có 2 thừa số là $(a'^{k}+c'^{k})$ và $(m^{k}+n^{k})$ đều lớn hơn $1$ nên là hợp số
Chỗ tô đỏ sao cm được vậy anh
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
#8
Đã gửi 20-07-2015 - 15:25
Chỗ tô đỏ sao cm được vậy anh
Nhầm tí nếu đề bài cho $ab=cd$ thì mới cm đc
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh