Chủ đề này có 1 trả lời

[olympiachapcanhuocmo]

Tìm tất cả các số nguyên dương k để PT :  $a^{2}+b^{2}+c^{2}=kabc$ có nghiệm nguyên dương 

 

 

[Belphegor Varia]

$\texttt{Solution}$

 

$\blacklozenge$ Ta có bổ đề : Để phương trình : $x^2+y^2+1=kxy$ thì $k=3$

Spoiler

phương pháp là dùng Vieta Jumping

 

$\blacklozenge$ Trở lại bài toán : Ta có  

    $\star$ Nếu $k=1$ thì phương trình có nghiệm là $(3,3,3)$ 

       Nếu $k=3$ thì phương trình có nghiệm là $(1,1,1)$  

Spoiler

ở phần trên ta chỉ cần tìm $1$ bộ ba nghiệm thỏa mãn là đủ.

 

    $\star$ Nếu $k\neq 1,3$ Giả sử phương trình có nghiệm $(x_0,y_0,z_0)$. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng $x_0\leq y_o\leq z_0$ và $x_0+y_0+z_0$ nhỏ nhất 

          $\bullet$ Nếu $y_0<z_0$ . Khi đó phương trình bậc 2 : $Z^2-kZx_0y_0+x_0^2+y_0^2=0$ có một nghiệm là $z_0$

Theo Vieta thì nghiệm thứ $2$ $z_1$ sẽ thỏa mãn : $z_1=kx_0y_0-z_0=\frac{x_0^2+y_0^2}{z_0}$

Suy ra $z_1$ nguyên dương và $(x_0,y_0,z_1)$ là nghiệm thứ 2 của phương trình. Suy ra : $x_0+y_0+z_0\leq x_0+y_0+z_1$$\Rightarrow z_0\leq z_1$

Ta có : $x_0^2+y_0^2-kx_0y_0=z_0z_1-z_0-z_1=(z_0-1)(z_1-1)-1\geq y_0^2-1$

Suy ra $1\geq x_0(ky_0-x_0)\geq x_0$ $\Rightarrow x_0=1$. Bài toán trở thành tìm $k$ để phương trình $y_0^2+z_0^2+1=ky_0z_0$

suy ra $k=3$ (theo bổ đề trên)$\rightarrow$ Trái với giả thiết 

          $\bullet$ Nếu $y_0=z_0$. Ta có : $x_0^2+2y_0^2=kx_0y_0^2$ $\Rightarrow x_0^2=y_0^2(kx_0-2)\geq x_o^2(kx_0-2)$

Từ đó dẫn đến $kx_0\leq 3$ mà $kx_0>2$ nên $kx_0=3$ suy ra $k=1,3$ (trái với giả thiết)

Vậy với $k=1,3$ thì phương trình có nghiệm nguyên dương $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 17-07-2015 - 08:52