Chủ đề này có 2 trả lời

[Lin Kon]

1. Cho $x,y$ là các số nguyên khác $-1$ thỏa mãn $\frac{x^3+1}{y+1}+\frac{y^3+1}{x+1}$ là số nguyên.

Chứng minh rằng $x^{2016}-1 \vdots y+1$

2.Cho $x,y,z$ là các số nguyên dương thỏa mãn $\frac{x+y\sqrt{2015}}{y+z\sqrt{2015}}$ là một số hữu tỉ và $x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố. Tính giá trị của biểu thức: $A=\frac{x-\sqrt{3y^2+1}}{\sqrt{x^2+2y^2+z^2}}$

[the man]

1. Cho $x,y$ là các số nguyên khác $-1$ thỏa mãn $\frac{x^3+1}{y+1}+\frac{y^3+1}{x+1}$ là số nguyên.

Chứng minh rằng $x^{2016}-1 \vdots y+1$

 

Đặt $\frac{x^3+1}{y+1}=\frac{a}{b},\frac{y^3+1}{x+1}=\frac{c}{d}$  Với  $(a,b,c,d\in \mathbb{Z})$, $(a,b)=1; (c,d)=1$

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\in Z\Rightarrow \left\{\begin{matrix}ad+bc\vdots b & & \\ ad+bc\vdots d & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}ad\vdots b & & \\ bc\vdots d & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}d\vdots b & & \\ b\vdots d & & \end{matrix}\right.\Rightarrow b=d$

Dễ thấy $\frac{a}{b}.\frac{c}{d}\in \mathbb{Z}\Rightarrow ac\vdots bd\Rightarrow ac\vdots d\Rightarrow a\vdots d\Rightarrow a\vdots b\Rightarrow x^3+1\vdots y+1$

Kết hợp với $x^{2016}-1 \vdots x^3+1$ ta được đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 22-07-2015 - 15:50

[the man]

 

2.Cho $x,y,z$ là các số nguyên dương thỏa mãn $\frac{x+y\sqrt{2015}}{y+z\sqrt{2015}}$ là một số hữu tỉ và $x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố. Tính giá trị của biểu thức: $A=\frac{x-\sqrt{3y^2+1}}{\sqrt{x^2+2y^2+z^2}}$ 

 

Đặt  $\frac{x+y\sqrt{2015}}{y+z\sqrt{2015}}=\frac{m}{n}$  với $(m,n\in \mathbb{Z},n>0),(m,n)=1$

      $\Rightarrow xn-my=(mz-yn)\sqrt{2015}$

Do  $\sqrt{2015}$  là số vô tỉ nên 

  $\left\{\begin{matrix}xn-my=0 & & \\ yn-mz=0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}xn=my & & \\mz=yn & & \end{matrix}\right.\Rightarrow xmnz=my^2n\Rightarrow xz=y^2$

     $\Rightarrow x^2+y^2+z^2=(x+z)^2-2xz+y^2=(x+z)^2-y^2=(x+y+z)(x-y+z)$

Do  $x^2+y^2+z^2$ nguyên tố, $x+y+z \geq3$ nên $x-y+z=1$

     $\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x+y+z$  (1)

Mặt khác do  $x,y,z$  là các số nguyên dương nên  $x^2 \geq x, y^2 \geq y, z^2 \geq z$

    $\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq x+y+z$

Do (1) nên ta có  $x=y=z=1$

Từ đó  $A=-0,5$