Cho 3 số dương a;b;c:a+b+c=3.CM:
$\sum \frac{a}{1+(b+c)^{2}}\leq \frac{3(\sum a^{2})}{\sum a^{2}+12abc}$
$\sum \frac{a}{1+(b+c)^{2}}\leq \frac{3(\sum a^{2})}{\sum a^{2}+12abc}$
Bắt đầu bởi congdan9aqxk, 31-07-2015 - 15:30
#2
Đã gửi 25-04-2021 - 20:19
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho 3 số dương a;b;c:a+b+c=3.CM:
$\sum \frac{a}{1+(b+c)^{2}}\leq \frac{3(\sum a^{2})}{\sum a^{2}+12abc}$
Do a + b + c = 3 nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\sum_{cyc}(\frac{a}{1+(b+c)^2}-a)\leqslant \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}-3 \Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{a(b+c)^2}{1+(b+c)^2}\geqslant \frac{36abc}{a^2+b^2+c^2+12abc}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức: $\sum_{cyc}\frac{a(b+c)^2}{1+(b+c)^2}=\sum_{cyc}\frac{a^2}{a+\frac{a}{(b+c)^2}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{3+\sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2}}=\frac{36abc}{4abc(3+\sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2})}$
Đến đây, ta cần chứng minh: $a^2+b^2+c^2+12abc\geqslant 4abc(3+\sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2})\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geqslant 4abc(\sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2})\Leftrightarrow \sum_{cyc}(\frac{a}{bc}-\frac{4a}{(b+c)^2})\geqslant 0\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{a(b-c)^2}{bc(b+c)^2}\geqslant 0$ *Đúng*
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c = 1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
