Chủ đề này có 3 trả lời

[Capture]

Cho a, b, c, d là các số thực không âm thỏa mãn:

(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)>0

Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq 2$

 

[hoctrocuaHolmes]

Cho a, b, c, d là các số thực không âm thỏa mãn:

(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)>0

Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq 2$

Áp dụng AM-GM:

$\sqrt{\frac{b+c+d}{a}}\leq \frac{\frac{b+c+d}{a}+1}{2}=\frac{a+b+c+d}{2a}\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2(đpcm)$

Bạn xem lời giải tổng quát Tại đây

[quan1234]

$\sqrt{a(b+c+d)}\leq \frac{a+b+c+d}{2}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a(b+c+d)}}\geq \frac{2}{a+b+c+d}\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$

Chứng minh tương tự, ta được $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}= 2$

Dấu "=" không xảy ra

[Capture]

$\sqrt{a(b+c+d)}\leq \frac{a+b+c+d}{2}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a(b+c+d)}}\geq \frac{2}{a+b+c+d}\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$

Chứng minh tương tự, ta được $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}= 2$

Dấu "=" không xảy ra

Dấu "=" vẫn xảy ra khi 2 số bằng nhau và hai số bằng 0