Chủ đề này có 1 trả lời

[naruto01]

Cho tam giác ABC không nhọn có các góc thỏa mãn đẳng thức :

$(1+\frac{sinB}{sinA})(1+\frac{sinA}{sinC})(1+\frac{sinC}{sinB})=4+3\sqrt{2}$

Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi naruto01: 09-08-2015 - 16:34

[LzuTao]

Cho tam giác ABC không nhọn có các góc thỏa mãn đẳng thức :

$(1+\frac{sinB}{sinA})(1+\frac{sinA}{sinC})(1+\frac{sinC}{sinB})=4+3\sqrt{2}$

Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

Áp dụng ĐL $\sin$ ta có: $\displaystyle {(1+\frac{\sin B}{\sin A})(1+\frac{\sin A}{\sin C})(1+\frac{\sin C}{\sin B})=4+3\sqrt{2}\\\iff \left ( 1+\frac ba \right )\left ( 1+\frac ac \right )\left ( 1+\frac cb \right )=4+3\sqrt2\\\iff \frac a b +\frac a c +\frac b a +\frac c a+\left (\frac b c  +\frac c b  \right ) = 2+3\sqrt2\\\iff \left ( b+c \right )\left ( \frac{a}{bc}+\frac{1}a \right )+\left (\frac b c  +\frac c b  \right ) =2+3\sqrt2\quad \color{red}{(1)}}$

Giờ ta cần chứng minh $VT \ge VP$

Không mất tính tổng quát, cho $a$ là cạnh lớn nhất. Do $\triangle ABC$ không nhọn $\implies a^2\ge b^2+c^2\ge 2bc$

Ta có: $b+c\ge 2\sqrt{bc},\quad \frac{a}{2bc}+\frac{a}{2bc}+\frac{1}a\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{4b^2c^2}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2bc}}{4b^2c^2}}=\frac{3}{\sqrt{2bc}}\\\implies \left ( b+c \right )\left ( \frac{a}{bc}+\frac{1}a \right )\ge 3\sqrt2,\quad \left (\frac b c  +\frac c b  \right ) \ge 2$

Do đó $VT\ge VP$

Đẳng thức xảy ra $\iff a^2=b^2+c^2$ và $b=c$ hay $\triangle ABC$ vuông cân. $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 11-08-2015 - 00:59