Chủ đề này có 5 trả lời

[CaptainCuong]

Cho $a^{2}+b^{2}=c^{2}$(a,b,c\in N)

Chứng minh:$abc\vdots 60$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 15-08-2015 - 18:24

[anhtukhon1]

Cho $a^{2}+b^{2}=c^{2}(a,b,c\in N)$$;c> b> a$.

Chứng minh $(a;b;c)$ tỉ lệ với $(3;4;5)$

Cần gì cứ phải tỉ lệ với 3,4,5 nhỉ nhỡ 5,12,13 thì sao

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtukhon1: 15-08-2015 - 14:52

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $a^{2}+b^{2}=c^{2}(a,b,c\in N)$$;c> b> a$.

Chứng minh $(a;b;c)$ tỉ lệ với $(3;4;5)$

Có lẽ là bạn thiếu điều kiện $b=\frac{a+c}{2}$

Đặt các số $a;b;c$ lần lượt là $x-d;x;x+d$ Ta có 

$(x-d)^{2}+x^{2}=(x+d)^{2}<=>4xd=x^{2}<=>x=4d$

Nên $(a;b;c)=(3d;4d;5d)$ và tỉ lệ với $(3;4;5)$

[O0NgocDuy0O]

Cho $a^{2}+b^{2}=c^{2}(a,b,c\in N)

Chứng minh:$abc\vdots 60$

Ý bạn là: Nếu $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ thì $abc\vdots 60$.

$G/S$ không có số nào chia hết cho $3$ thì $c^{2}$ chia $3$ dư $2$ (Vô lí). Do đó phải có $1$ trong $3$ số chia hết cho $3$. Làm tương tự để chỉ ra chia hết cho $4,5$ thì $abc\vdots 60$ do $3,4,5$ đôi một nguyên tố cùng nhau.

[Silverbullet069]

$a^{2}+b^{2}=c^{2}(a,b,c\in N)

Chứng minh:$abc \vdots 60$

Lần sau bạn nên lập chủ đề mới chứ đừng sửa đề cũ của mình thì đề mới.

Lời giải từ vn.answers.yahoo.com

Ta có : $a^2 + b^2 = c^2$

$\Rightarrow$ Trong ba số có ít nhất một số $\vdots$ 3 vì nếu cả ba số không $\vdots$ 3 thì bình phương của mỗi chúng đều chia 3 dư 1 như vậy $a^2+b^2$ chia 3 dư 2 và $c^2$ chia 3 dư 1 $\Rightarrow$ không thể xảy ra $a^2+b^2=c^2.$
$\Rightarrow$ $a.b.c \vdots$ 3

- Bình phương của 1 số $\in \mathbb{N}$ khi chia 5 chỉ có thể có các số dư 0,1,4 nên nếu a và b đều không $\vdots$ 5 thì số dư của tổng số dư của $a^2+b^2$ chỉ có thể là một trong các giá trị 1+1; 1+4; 4+4 hay 2; 0; 3 $\Rightarrow$ số dư $c^2$ chia 5 chỉ có thể nhận giá trị 0 hay c $\vdots$ 5. như vậy trong 3 số đó phải có ít nhất 1 số $\vdots$ 5.
$\Rightarrow$ a.b.c $\vdots$ 5

- Nếu a và b phải có ít nhất một số chẵn vì nếu cả hai là số lẻ thì c sẽ là số chẵn $\Rightarrow$ $c^2$ $\vdots$ 4 mà $a^2$ và $b^2$ chia 4 dư 1 $\Rightarrow$ $a^2+b^2$ chia 4 dư 2 $\Rightarrow$ $a^2+b^2=c^2$ không thể xảy ra.
Nếu cả a và b đều là số chẵn thì a.b.c $\vdots$ 4.

Giả sử a là số chẵn, b là số lẻ $\Rightarrow$ c là số lẻ.
và khi đó $a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)$
c-b và c+b đều là số chẵn và trong mọi trường hợp thì một trong 2 giá trị này sẽ có 1 giá trị $\vdots$ 4 vì nếu b=c (mod 4) thì c-b $\vdots$ 4. còn nếu b không đồng dư với c khi chia 4 thì một số chia 4 dư 3 và một số chia 4 dư 1 khi đó b+c $\vdots$ 4. $\Rightarrow$ (c-b)(c+b) $\vdots$ 8 $\Rightarrow$ $a^2$ $\vdots$ 8 $\Rightarrow$ a $\vdots$ 4.
Vì vậy trong mọi trường hợp thì a.b.c đều $\vdots$ 4

Như vậy $a.b.c \vdots$ 3; 4 và 5 $\Rightarrow$ $a.b.c \vdots$ 60.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 15-08-2015 - 18:41

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $a^{2}+b^{2}=c^{2}$(a,b,c\in N)

Chứng minh:$abc\vdots 60$

Nếu đã sửa đề như vậy thì ...

Ta sẽ cần chứng minh $abc$ chia hết cho cả $3;4;5$ ( vì ($3;4;5$)=1 và $3.4.5=60$ )

$abc \vdots 3$ 

Ta có : số dư của một số chính phương cho $3$ là $0;1$

Vậy nếu $abc$ không chia hết cho $3$ tức là $a^{2};b^{2};c^{2}$ không chia hết cho $3$ và có dư khi chia $3$ là $1$

Khi đó $a^{2}+b^{2}$ chia $3$ dư $2$ --> $c^{2}$ chia $3$ dư $2$ vô lý

 

...

.Các trường hợp tiếp theo tương tự 

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Một bài tương tự ( hình như đề Quốc học Huế thì phải ? )

Cho tam giác vuông có các cạnh là các số nguyên chứng minh rằng có thể cắt tam giác này ra $12$ mảnh có diện tích bằng nhau