Chủ đề này có 2 trả lời

[chuyentoan]

Cho $C$ là một điểm nằm trên đường kính $AB$ của nửa đường tròn tâm $O$, khác $A,B,O$. Hai tia vuông góc với nhau qua $C$ cắt nửa đường tròn tại $D,E$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $DC$ cắt lại đường tròn tại $K$. Chứng minh rằng nếu $K$ không trùng $E$ thì $KE$ song song $AB$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 16-12-2012 - 22:28

[phudinhgioihan]

Cho $C$ là một điểm nằm trên đường kính $AB$ của nửa đường tròn tâm $O$, khác $A,B,O$. Hai tia vuông góc với nhau qua $C$ cắt nửa đường tròn tại $D,E$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $DC$ cắt lại đường tròn tại $K$. Chứng minh rằng nếu $K$ không trùng $E$ thì $KE$ song song $AB$

Một chuyện hy hữu là...kết luận của bài toán đã sai!

Cụ thể, ta có thể vẽ ngay cái hình, tuy nhiên, nếu muốn có chứng minh chặt chẽ thì chẳng hạn...

Ta sẽ chỉ ra cách dựng một trường hợp thỏa giả thiết.

Sau khi đã có $AB$ và nửa đường tròn $(O)$ bán kính $R$. Vẽ đường thẳng d song song với $AB$ và cách $AB$ một đoạn nhỏ hơn $\dfrac{R}{2}$ cắt nửa đường tròn tại $D$ và $E$.

Gọi $I$ là trung điểm $DE$.

Do $ID^2+IO^2=OD^2=R^2 \Rightarrow ID=\sqrt{R^2-OI^2}>\dfrac{\sqrt{3}}{2}R>\dfrac{R}{2}>OI$

$\Rightarrow AB$ cắt đường tròn tâm $I$ bán kính $ID$ tại hai điểm nằm trong đoạn $AB$ đồng thời khác $A;B;O$, chọn một trong hai điểm đó gọi là $C$. Hiển nhiên $\Delta DCE$ vuông tại $C$.

Vậy, các điểm $C;E;D$ thỏa mãn giả thiết đề bài.

Tiếp tục, theo giả thiết đề bài, dựng đường thẳng vuông góc với $CD$ tại $D$ cắt đường tròn tâm $O$ tại $K$ . Hiển nhiên, $DK // CE $ nên $K$ không thuộc $DE$, tức

$KE$ không song song $AB$ vì $DE //AB$

[PSW]

Chấm bài:

phudinhgioihan: 10 điểm