Chủ đề này có 1 trả lời

[Stupid]

Cho $n$-giác . Một số đường chéo của $n$-giác thỏa mãn 3 tính chất sau:
1) Không có 2 đường chéo nào cắt nhau (trong đoạn)
2) $n$-giác bị chia thành các tam giác
3) Số đường chéo xuất phát từ mỗi đỉnh đều là số chẵn ( có thể là 0 )
CMR: $3|n$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 16-03-2013 - 12:10

[gogo123]

Cho $n$-giác . Một số đường chéo của $n$-giác thỏa mãn 3 tính chất sau:
1) Không có 2 đường chéo nào cắt nhau (trong đoạn)
2) $n$-giác bị chia thành các tam giác
3) Số đường chéo xuất phát từ mỗi đỉnh đều là số chẵn ( có thể là 0 )
CMR: $3|n$.

 

Chứng minh:

Xét đa giác $A_1A_2...A_n$

Gọi deg$(A_i)$ là bậc của đỉnh $A_i$, dễ thấy deg$(A_i)=2+$ số đường chéo xuất phát từ $A_i$. (Số 2 ở đây là do tính cả 2 cạnh).

Ta có $n$-giác bị chia thành các tam giác cạnh là đường chéo không căt nhau nên ta có:

Số tam giác tạo thành $\times 180^o$ $=$ Tổng các góc trong n-giác $=(n-2).180^o$.

Suy ra : Số tam giác tạo thành là $n-2$.

Ta có: 

  - Mỗi cạnh của $n$-giác thuộc duy nhất 1 tam giác

  - Mỗi đường chéo được vẽ thuộc đúng 2 tam giác.

Suy ra : Tổng tất cả các cạnh của các tam giác $=n+2.$(số đường chéo)

Mặt khác $\sum deg(A_i)=2n+2.$(số đường chéo).

Suy ra: Tổng cạnh tam giác $=3.(n-2)=n+2.$(số đường chéo)$=\sum deg(A_i)-n$.

$\Rightarrow \sum deg(A_i)=4n-6$.

Ta lại có $deg(A_i)$ là số chẵn dương nên giả sử có $k$ đỉnh không có đường chéo nào thì $4n-6=\sum deg(A_i) \geq 2k+4.(n-k)=4n-2k \Rightarrow k \geq 3$

Vậy có ít nhất 3 đỉnh không có đường chéo nào xuất phát từ đỉnh đó.Giả sử đó đỉnh $A_i$ thì ta có tam giác tạo thành chứa đỉnh đó duy nhất là $A_{i-1}A_iA_{i+1}$.Như vậy ta có quyền loại các đỉnh này ra khỏi đa giác đã cho mà không làm mất đi tính vẽ được của đa giác.

Xóa đi 3 đỉnh $deg=2$ ta thu được $(n-3)$ giác vẫn thõa mãn tính chất bài toán.Tiếp tục thực hiện như thế nhiều lần cho đến khi còn $\leq 3$  đỉnh ta sẽ thấy chỉ có khi còn lại 3 đỉnh thì n-giác ban đầu mới vẽ được như bài toán.

Vậy n chia hết cho 3.

Hình gửi kèm

•