Chủ đề này có 84 trả lời

[Zaraki]

Bài 6: (của anh NAPOLE) Tìm tất cả số nguyên $p,q,r (1<p<q<r)$ và
$(pqr-1) \vdots (p-1)(q-1)(r-1)$
P/s:mấy bài còn lại mình sẽ cập nhật dần dần, mọi người cứ giải mấy bài này đã nhé!

Lời giải. Đặt
$$R(p,q,r)= \frac{pqr-1}{(p-1)(q-1)(r-1)}$$
với $1<p<q<r; p,q,r \in \mathbb{Z}$. Bài toán đòi hỏi tìm tất cả số $p,q,r$ sao cho $R(p,q,r)$ nguyên.

Ta viết $A$ dưới dạng
$$A= 1+ \frac{1}{p-1}+ \frac{1}{q-1}+ \frac{1}{r-1}+ \frac{1}{(q-1)(r-1)}+ \frac{1}{(r-1)(p-1)}+ \frac{1}{(p-1)(q-1)}.$$
Do $p,q,r>1$ nên $$R(p,q,r)>1. \text{ } (1)$$
Mặt khác nếu $p \ge p'>1, \ q \ge q' \ge 1, \ r \ge r' \ge 1$ thì
$$R(p,q,r) \le R(p',q',r') \text{ } (2)$$
Để ý rằng nếu $p,q,r$ cùng lẻ thì $pqr-1$ chẵn.

Nếu $pqr-1$ lẻ trong khi đó $(p-1)(q-1)(r-1)$ chẵn thì $p,q,r$ không thể nguyên. Vậy hoặc $p,q,r$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Đến đây xét các trường hợp

• $p \ge 4$
• $p=3$
• $p=2$

$\boxed{ \text{Kết luân}}$. Ta tìm được $(p,q,r) \in \{ (3,5,15),(2,4,8) \}$. $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 05-02-2012 - 20:22

[thong715020]

Các bạn giải giúp mình với

2012_{²⁰¹³+ 2015²⁰¹⁴} chia hết cho 7

[Crystal]

Các bạn giải giúp mình với

2012_{²⁰¹³+ 2015²⁰¹⁴} chia hết cho 7

Bạn nên post trong box toán Số học của THCS chứ không phải ở đây.

Bạn đọc kĩ Nội quy diễn đàn Toán học

Nếu còn tái phạm thì bài viết sẽ bị xóa mà không có nhắc nhở.

------------------------
Chuyển từ http://diendantoanhoc.net/index.php?showtopic=69199&pid=303445&st=30&#entry303445 sang.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 12-03-2012 - 09:58

[Ispectorgadget]

Bài 22: Cho $2$ số $a,b$ sao cho
$\dfrac{a^2-1}{b+1}+\dfrac{b^2-1}{a+1}$ là số nguyên
CM: mỗi số $\dfrac{a^2-1}{b+1};\dfrac{b^2-1}{a+1}$ đều là số nguyên

Lời giải:
Đặt $x_1=\frac{a^2-1}{b+1};x_2=\frac{b^2-1}{a+1}$
Theo định lý Viet ta có
$$\left\{\begin{array}{l}P = x_1 .x_2 = \frac{{(a^2 - 1)(b^2 - 1)}}{{(a + 1)(b + 1)}} \in Z \\S = x_1 + x_2 \in Z \end{array}\right.$$
$P=(a-1)(b-1)\Rightarrow x_1;x_2$ là nghiệm của phương trình $X^2-SP+P=0$ (*)
Phương trình (*) có nghiệm hữu tỉ hoặc nguyên.
Vì hệ số $X^2=1$ nên(*) có nghiệm nguyên
Vậy $\frac{a^2-1}{b+1}$ và $\frac{b^2-1}{a+1}$ là các hệ số nguyên
MOD THCS sửa hộ cái hệ dùm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 23-03-2012 - 23:44
Gửi -> anh Kiên: em đã sửa

[Dung Dang Do]

Các bạn giải giúp mình với

2012_{²⁰¹³+ 2015²⁰¹⁴} chia hết cho 7

Giải như thế này
$$2012\equiv 3 (mod 7) \iff 2012^{2013}\equiv 3^{2013}$$
Lại có $$3^3 \equiv -1 (mod 7) \iff 3^{2013} \equiv -1(mod 7)<1>$$
Mà $$2015 \equiv -1 (mod 7) \iff 2015^{2014}\equiv 1 (mod7)<2>$$
Từ $<1><2> \to $
$\boxed{2012^{2013}+2015^{2014} \vdots 7}$

[Yagami Raito]

Mọi người giải giùm nha: Tìm $x.y$ $\epsilon \mathbb{Z}$ biết
$$2x+\frac{1}{7}=\frac{1}{y}$$

[perfectstrong]

Mọi người giải giùm nha: Tìm $x.y$ $\epsilon \mathbb{Z}$ biết
$$2x+\frac{1}{7}=\frac{1}{y}$$

Lời giải:
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{y} = 2x + \frac{1}{7} = \frac{{14x + 1}}{7} \Leftrightarrow y = \frac{7}{{14x + 1}} \in Z \\
\Rightarrow 14x + 1|7 \Rightarrow 14x + 1 \in \left\{ { - 7; - 1;1;7} \right\} \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = 7 \\
\end{array}
\]

[anh qua]

Mình có ý kiến thế này!
Mỗi bạn khi post bài nên ghi rõ nguồn thì sẽ hay hơn.
Chẳng hạn bài 6 ở trên là bài Shortlist năm nào đấy!

[Beautifulsunrise]

Bài 9. Tìm chữ số tận cùng của số $13^{13}+6^{6} + 2009^{2009}$
Bài 10. Tìm chữ số tận cùng của số $19^{6^{2005}}$
Bài 11. CMR: $n^{3}+17n$ chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n.
Bài 12. CMR với mọi số nguyên dương n, số

A(n) = $5^{n}(5^{n}+1)-6^{n}(3^{n}+2^{n})$ chia hết cho 91.

Bài 13. Với mỗi số nguyên dương n, đặt:

a_n = 2²ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺¹ + 1, b_n = 2²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺¹ + 1.

CMR: với mọi n thì a_n.b_n chia hết cho 5 và a_n + b_n không chia hết cho 5.

Bài 14. a.Tìm số tự nhiên n sao cho 2ⁿ - 1 chia hết cho 7.

b. CMR: 2ⁿ + 1 không chia hết cho 7 với moi số tự nhiên n.

Bài 15. Tìm các số tự nhiên n sao cho n.4ⁿ + 3ⁿ chia hết cho 49.
Bài 16. Tìm các số tự nhiên n sao cho 3n - 4, 4n - 5 và 5n - 3

đều là các số nguyên tố.

Bài 17. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, b, c số 4a² + b² + c² - 7 không là

lập phương của một số chẵn.

Bài 18. CMR: số m = n(n +1)...(n + 7) + 7!

không thể biểu diễn được dưới dạng tổng của 2 số chính phương.

Hãy phát biểu BT tổng quát và giải.

Bài 19. Với mỗi số tự nhiên n, đặt: a_n = 3n² + 6n + 13.

a. CMR: Nếu hai số a_i, a_j không chia hết cho 5 và có số dư khác nhau khi chia cho 5 thì a_i + a_j chia hết cho 5.

b. Tìm tất cả số tự nhiên n lẻ sao cho a_n là số chính phương.

Bài 20. Viết các số liên tiếp 111, 112, 113, ..., 887, 888 ta thu được số

A = 111112113...887888.

CMR: A chia hết cho 1998

Bài 21. Tìm các cặp số nguyên tố (p, q) thỏa mãn phương trình

$5^{2^{p}}+ 1997 = 5^{2q^{2}} + q^{2}$

Bài 22. Tìm các số tự nhiên n sao cho:

a. $3^{n}|2^{3^{15}}$

b.$2^{n}|3^{1024}$

Bài 23. CMR: với mọi số tự nhiên n ta luôn có $15^{n}+ 182n - 1 \vdots 196$
Bài 24. Tìm số dư trong phép chia A = 3⁸ +3⁶ +3²⁰⁰⁴ cho 91.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 08-06-2012 - 14:12

[kevinkernpham]

cho em đóng góp bài này ạ
tìm các số n nguyên dương sao cho n!+5 bằng lập phương của 1 số đúng
mọi người ghi cách giải kĩ giùm em với ạ,nếu được thì giảng thêm cho em cái phương pháp với,chứ em ko giỏi số học ạ.cảm ơn mọi người ^^

[lifeisgood2606]

Đây là 1 bài khởi động trong đề thi HSG Tỉnh Bình Thuận năm 2008-2009. Các bạn tham khảo:
Biết rằng $\overline{2a12a1...2a1}$ (2009 lần) là một số chia hết cho 11. Tìm a

[Beautifulsunrise]

cho em đóng góp bài này ạ
tìm các số n nguyên dương sao cho n!+5 bằng lập phương của 1 số đúng
mọi người ghi cách giải kĩ giùm em với ạ,nếu được thì giảng thêm cho em cái phương pháp với,chứ em ko giỏi số học ạ.cảm ơn mọi người ^^

n! + 5 = $y^3$
nếu n $\geq$ 11 thì VP $\vdots$ 25 => vô lý
Nếu n $\leq$ 10 thì thử trực tiếp.
Đáp số: n = 5, y = 5. Mình lười tính toán, bản tính hộ mình nha'.
___

$\boxed{\text{Nguyen Lam Thinh}}$ Sao lại vô lí được hả bạn? Với mọi y chia hết cho 5, điều đó hoàn toàn đúng!
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 13-06-2012 - 09:49

[thedragonknight]

Bài 9. Tìm chữ số tận cùng của số $13^{13}+6^{6} + 2009^{2009}$
Bài 10. Tìm chữ số tận cùng của số $19^{6^{2005}}$
Bài 11. CMR: $n^{3}+17n$ chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n.
Bài 12. CMR với mọi số nguyên dương n, số

A(n) = $5^{n}(5^{n}+1)-6^{n}(3^{n}+2^{n})$ chia hết cho 91.

Bài 13. Với mỗi số nguyên dương n, đặt:

a_n = 2²ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺¹ + 1, b_n = 2²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺¹ + 1.

CMR: với mọi n thì a_n.b_n chia hết cho 5 và a_n + b_n không chia hết cho 5.

Bài 14. a.Tìm số tự nhiên n sao cho 2ⁿ - 1 chia hết cho 7.

b. CMR: 2ⁿ + 1 không chia hết cho 7 với moi số tự nhiên n.

Bài 15. Tìm các số tự nhiên n sao cho n.4ⁿ + 3ⁿ chia hết cho 49.
Bài 16. Tìm các số tự nhiên n sao cho 3n - 4, 4n - 5 và 5n - 3

đều là các số nguyên tố.

Bài 17. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, b, c số 4a² + b² + c² - 7 không là

lập phương của một số chẵn.

Bài 18. CMR: số m = n(n +1)...(n + 7) + 7!

không thể biểu diễn được dưới dạng tổng của 2 số chính phương.

Hãy phát biểu BT tổng quát và giải.

Bài 19. Với mỗi số tự nhiên n, đặt: a_n = 3n² + 6n + 13.

a. CMR: Nếu hai số a_i, a_j không chia hết cho 5 và có số dư khác nhau khi chia cho 5 thì a_i + a_j chia hết cho 5.

b. Tìm tất cả số tự nhiên n lẻ sao cho a_n là số chính phương.

Bài 20. Viết các số liên tiếp 111, 112, 113, ..., 887, 888 ta thu được số

A = 111112113...887888.

CMR: A chia hết cho 1998

Bài 21. Tìm các cặp số nguyên tố (p, q) thỏa mãn phương trình

$5^{2^{p}}+ 1997 = 5^{2q^{2}} + q^{2}$

Bài 22. Tìm các số tự nhiên n sao cho:

a. $3^{n}|2^{3^{15}}$

b.$2^{n}|3^{1024}$

Bài 23. CMR: với mọi số tự nhiên n ta luôn có $15^{n}+ 182n - 1 \vdots 196$
Bài 24. Tìm số dư trong phép chia A = 3⁸ +3⁶ +3²⁰⁰⁴ cho 91.

bài 17:
a,b,c cùng tính chẵn lẻ thì biểu thức đó lẻ nên ko thể là lập phương 1 số chẳn
a,b,c khác tính chẳn lẽ thì $4a^{2}$ luôn chẵn xét b,c.
b,c cùng tính chẵn lẻ thì $b^{2}+c^{2}$ luôn chẵn $\Rightarrow$ biểu thức đó lẻ.
b,c khác tính chẵn lẻ thì:
Nếu a chẵn và b chẳn thì $4a^{2}\vdots 8$ và $b^2$ có thể chia 8 dư 0 hoặc dư 4.Khi đó c lẻ thì $c^{2}$ chia 8 dư 1 suy ra $c^{2}-7$ chia 8 dư -6 tức là dư 2.Vậy biểu thức có thể chia 8 dư 2 hoặc dư 6.Vì vậy nó ko thể là lập phương của 1 số chẳn vì lập phương của 1 số chẳn luôn chia hết cho 8.
Nếu a lẻ thì $4a^{2}$ chia 8 dư 4 tương tự với b chẵn c lẻ. Ta đc biểu thức ấy chia 8 dư 2 hoặc dư 6
Vậy biểu thức trên ko phải là lập phương 1 số chẳn

[Beautifulsunrise]

n! + 5 = $y^3$
nếu n $\geq$ 11 thì VP $\vdots$ 25 => vô lý
Nếu n $\leq$ 10 thì thử trực tiếp.
Đáp số: n = 5, y = 5. Mình lười tính toán, bản tính hộ mình nha'.
___

$\boxed{\text{Nguyen Lam Thinh}}$ Sao lại vô lí được hả bạn? Với mọi y chia hết cho 5, điều đó hoàn toàn đúng!
___

Vì khi đó VT không chia hết cho 25 mà bạn.

[thedragonknight]

Bài 9:Ta có $13^{5}\equiv 93(mod100)$;$13^{3}\equiv 97(mod100)$
Suy ra $13^{13}=13^{5}.13^{5}.13^{3}\equiv 93.93.97\equiv 53(mod100)$
$6^{6}\equiv 56(mod100)$
$2009^{2}\equiv 1(mod100)\Rightarrow 2009^{2008}\equiv 2009^{2^{1004}}\equiv 1(mod100)\Rightarrow 2009^{2009}\equiv 9(mod100)$
Cộng lại ta đc chữ số tận cùng là 8
Bài 10:Nhận thấy $19^{6}$ tận cùng là 1 suy ra $19^{6^{2005}}$ tận cùng là 1
Bài 11:Phân tích ra ta đc$(n-1)n(n+1)+18n\vdots 6$

P/s: mới chém đc có 4 bài. Quải quá

[thedragonknight]

Bài 16: Thế n=0;1;2;..... thì thấy n=2 thỏa mãn.
Xét $n\geqslant 3$
Nếu n lẻ thì:$5n-3\equiv 0(mod2)$ mà $5n-3\geq 5.3-3=12> 2$
Nên 5n-3 là hợp số
Nếu n chẳn thì:$3n-4\equiv 0(mod2)$ mà $3n-4\geq 3.4-4=8> 2$
Nên 3n-4 là hợp số
Vậy n=2 thỏa mãn đề bài
P/s: xong 1 bài nữa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thedragonknight: 13-06-2012 - 20:30

[ducthinh26032011]

19)$ a_n=3(n+1)^{2}+10$
$\Rightarrow a_{i}=3(i+1)^{2}+10$ và $a_{j}=3(j+1)^{2}+10$
Vì số chính phương chia 5 dư 0;1;4.mà $a_{i};a_{j}$ không chia hết cho 5,và khác số dư,nên không mất tính tổng quát,ta giả sử $a_{i}:5$ dư 1 và $a_{j}:5$ dư 4 (do $10\vdots 5$)
$\Rightarrow a_{i}+a_{j}\vdots 5$
b)Đặt $n=2k+1$.Khi đó $ a_n=12(k+1)^{2}+10=x^{2}$
$ a_n\vdots 2\Rightarrow x^{2}\vdots 2\Rightarrow x^{2}\vdots 4\Rightarrow a_{2}\vdots 4$
mà 10 k chia hết cho 4 nên vô lí.
Vậy không tìm được....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 13-06-2012 - 23:38

[BearBean]

Bài 24:

$3^{6}\equiv 1 (mod 91)$
$3^{8}=3^{6}.9\equiv 9(mod 91)$
$3^{2004}=(3^{6})^{334}\equiv 1(mod 91)$
Suy ra số dư là 11.

P/s: Em mới vào diễn đàn có gì sai sót mong các anh chỉ bảo

[tkvn97]

Bài 25 : Chứng minh rằng nếu $a,b,c,d$ là các số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho biểu thức $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}$ là một số nguyên thì tích abcd là một số chính phương

[thedragonknight]

Bài 25 : Chứng minh rằng nếu $a,b,c,d$ là các số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho biểu thức $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a} (1)$ là một số nguyên thì tích abcd là một số chính phương

dễ dàng chứng minh đc $(1)>1$
ta có $\frac{a}{a+b}< \frac{a+c+d}{a+b+c+d}$
Tương tự.....
cộng từng vế ta đc:$(1)<3$
Suy ra $(1)=2$
$\Leftrightarrow \frac{ac-bd}{ac+ad+bc+bd}+\frac{bd-cd}{bd+ab+cd+ac}+2=2\Leftrightarrow \frac{ac-bd}{ac+ad+bc+bd}+\frac{bd-cd}{bd+ab+cd+ac}=0$
Nếu $ac-bd=0$ thì ta có ngay đpcm
Nếu $ac-bd>0\Rightarrow c>\frac{bd}{a}$
Khi đó $bd<cd\Rightarrow b<c$
Quy đồng lên rồi tìm chỗ vô lý (chỗ này mình chưa chắc vì có thể mình sai ở trên )



P/s:ko biết có sai ko nếu sai ai chỉ dùm