Chủ đề này có 1 trả lời

[toanA37]

Cho ma trận vuông thực A, B cấp 2 thỏa mãn $A^{2}=B^{2}=I, AB+BA=0 $. CMR:
Tồn tại ma trận khả nghịch T sao cho $TAT^{-1} =\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ và $TBT^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

 

--------------------------------
to toanA37: bạn có thể xem đoạn code mình sửa lại để nắm rõ hơn cách đánh tex

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 08-08-2013 - 09:17

[toanA37]

Lời giải tóm tắt của mình thế này:
+ Vì $A^{2}=B^{2}=I$ nên A và B chéo hóa được với các phần tử trên đường chéo bằng 1 và -1
+ Vì AB+BA =0 nên $A, B \neq I$ và không đồng dạng do đó tồn tại ma trận khả nghịch C sao cho $ CAC^{-1} = \left(\begin{array}1& 0 \\ 0& -1\end{array}\right)$.
Đặt $B'= CBC^{-1}= \left(\begin{array}a&b\\c&d\end{array}\right)$
+ Dễ dàng chứng minh được a = d = 0 và b = c $ \neq 0 $.
+ Chọn ma trận D hợp lý ta có $ DB'D^{-1} = \left(\begin{array}0&1\\1&0\end{array}\right) $ Từ đó ta có được ma trận T