$$\left\{\begin{matrix} x(x+y)^2=9 \\x(y^3-x^3)=7 \end{matrix}\right.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 17-12-2012 - 21:45
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 17-12-2012 - 21:45
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x(x+y)^2=9 \\x(y^3-x^3)=7 \end{matrix}\right.$$
Hiển nhiên $x,y$ dương.
Hệ phương trình tương đương với $(I)\left\{\begin{matrix} x(x+y)^2=9 \\7=x(y^3-x^3) \end{matrix}\right.$
Nhân hai phương trình của hệ $(I)$ vế theo vế, ta được $7x(x+y)^2=9x(y^3-x^3)\Leftrightarrow 7(x+y)^2=9(y^3-x^3)\Leftrightarrow 9 x^3+7 x^2 + 14 x y + 7 y^2 - 9 y^3 = 0$
Đặt $y=ax$, ta có $9 x^3+7 x^2 + 14 ax^2 + 7 a^2x^2 - 9 a^3x^3 = 0\Leftrightarrow 9x+7+14a+7a^2-9a^3x=0$
$\Leftrightarrow 9(a^3-1)x=7(a+1)^2\Leftrightarrow x=\frac{7(a+1)^2}{9(a^3-1)}\Rightarrow y=\frac{7a(a+1)^2}{9(a^3-1)}$
Đặt $u=(a+1)^2,v=a^3-1$
Thay vào phương trình $x(x+y)^2=9$, ta được
$\frac{7^2u^4}{9^3v^3}=9\Leftrightarrow 7u^2=9^2v\sqrt{v}$ (Vì $7u^2,9^2v\sqrt{v}$ cùng dương)
Giải ra ta được $a=2$
Suy ra $x=1,y=2$
Đó là nghiệm của phương trình.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 05-07-2013 - 08:22
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
Ta thấy 0 không phải là nghiệm pt ta chia cả 2 vế của (1) cho $x^{3}$ ta được
$\left ( 1+\frac{y}{x} \right )^{2}=\frac{9}{x^{3}}$
$<>\frac{y}{x}=\frac{3}{x\sqrt{x}}-1$
(ví theo pt 1 thì nhất định x dương ) (*)
Ta chia cả 2 vế của pt (2) cho $x^{4}$ ta được
$\left ( \frac{y}{x} \right )^{3}-1=\frac{7}{x^{4}}$ thay (*) vào ta được
$\left ( \frac{3}{x\sqrt{x}}-1 \right )^{3}-1=\frac{7}{x^{4}}$ quy đồng lên rồi đặt $\sqrt{x}=t$ ta được pt mới sau
$\left ( 3-t^{3} \right )-t^{9}=7t$
$<>\left ( \left ( 3-t^{3} \right ) \right )^{3}-8+(1-t^{9})+7(1-t)=0$
$<>\left ( 1-t \right )\left \{ \left ( t^{2}+t+1 \right )\left \lfloor \left ( 3-t^{3} \right )^{2} +2\left ( 3-t^{3} \right )+4+t^{6}+t^{3}+1\right \rfloor +7\right \}$
<.>$t=1 <>x=1<> y=2
KL:
$\left ( x,y \right )=\left ( 1,2 \right )$
Cách này mình thấy dài và loằng ngoằng ai có cách khác hay hơn không
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cobetinhnghic96: 04-07-2013 - 07:27
Từ hệ phương trình $\Rightarrow x ; y > 0 $
$pt \left(1 \right) \Leftrightarrow x\left(x + y \right)^{2} = 9 \Rightarrow x + y = \frac{3}{\sqrt{x}} \Leftrightarrow y = \frac{3}{\sqrt{x}} - x $
Thế $y = \frac{3}{\sqrt{x}} - x $ vào $pt \left(2 \right) $ ta có :
$x\left[\left(\frac{3}{\sqrt{x}} - x\right)^{3} - x^{3}\right] = 7 $ $\left(3 \right)$
Đặt $t = \sqrt{x} $ nên $pt \left(3 \right) $ trở thành :
$t^{2}\left[\left(\frac{3}{t} - t^{2}\right)^{3} - t^{6}\right] = 7$
$\Leftrightarrow \left[\left(3 - t^{3} \right)^{3} - t^{9}\right] = 7t$
Đặt $f\left(t \right) = t^{9} - \left(3 - t^{3} \right)^{3} + 7t$
có : $f'\left(t \right) = 9t^{8} + 9t^{2}\left(3 - t^{3} \right)^{2} + 7 > 0 $
Nên $f\left(t \right) $ là hàm số đồng biến
Mà $f\left(1 \right) = 0 \Rightarrow t = 1$ là nghiệm duy nhất của $pt \left(3 \right)$
$\Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = 2$
Vậy $\left(x ; y \right) = \left( 1 ; 2 \right)$
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh