Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix} x(x+y)^2=9 \\x(y^3-x^3)=7 \end{matrix}\right.$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
kelieulinh

kelieulinh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x(x+y)^2=9 \\x(y^3-x^3)=7 \end{matrix}\right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 17-12-2012 - 21:45


#2
phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết

Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x(x+y)^2=9 \\x(y^3-x^3)=7 \end{matrix}\right.$$

Hiển nhiên $x,y$ dương.

Hệ phương trình tương đương với $(I)\left\{\begin{matrix} x(x+y)^2=9 \\7=x(y^3-x^3) \end{matrix}\right.$

Nhân hai phương trình của hệ $(I)$ vế theo vế, ta được $7x(x+y)^2=9x(y^3-x^3)\Leftrightarrow 7(x+y)^2=9(y^3-x^3)\Leftrightarrow 9 x^3+7 x^2 + 14 x y + 7 y^2 - 9 y^3 = 0$

Đặt $y=ax$, ta có $9 x^3+7 x^2 + 14 ax^2 + 7 a^2x^2 - 9 a^3x^3 = 0\Leftrightarrow 9x+7+14a+7a^2-9a^3x=0$

$\Leftrightarrow 9(a^3-1)x=7(a+1)^2\Leftrightarrow x=\frac{7(a+1)^2}{9(a^3-1)}\Rightarrow y=\frac{7a(a+1)^2}{9(a^3-1)}$

Đặt $u=(a+1)^2,v=a^3-1$

Thay vào phương trình $x(x+y)^2=9$, ta được

$\frac{7^2u^4}{9^3v^3}=9\Leftrightarrow 7u^2=9^2v\sqrt{v}$ (Vì $7u^2,9^2v\sqrt{v}$ cùng dương)

Giải ra ta được $a=2$

Suy ra $x=1,y=2$

Đó là nghiệm của phương trình.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 05-07-2013 - 08:22

  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#3
cobetinhnghic96

cobetinhnghic96

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết

Ta thấy 0 không phải là nghiệm pt ta chia cả 2 vế của (1) cho $x^{3}$ ta được

$\left ( 1+\frac{y}{x} \right )^{2}=\frac{9}{x^{3}}$

$<>\frac{y}{x}=\frac{3}{x\sqrt{x}}-1$

 (ví theo pt 1 thì nhất định x dương ) (*)

Ta chia cả 2 vế của pt (2) cho $x^{4}$ ta được

$\left ( \frac{y}{x} \right )^{3}-1=\frac{7}{x^{4}}$  thay (*) vào ta được

$\left ( \frac{3}{x\sqrt{x}}-1 \right )^{3}-1=\frac{7}{x^{4}}$ quy đồng lên rồi đặt $\sqrt{x}=t$ ta được pt mới sau

$\left ( 3-t^{3} \right )-t^{9}=7t$

$<>\left ( \left ( 3-t^{3} \right ) \right )^{3}-8+(1-t^{9})+7(1-t)=0$

$<>\left ( 1-t \right )\left \{ \left ( t^{2}+t+1 \right )\left \lfloor \left ( 3-t^{3} \right )^{2} +2\left ( 3-t^{3} \right )+4+t^{6}+t^{3}+1\right \rfloor +7\right \}$

<.>$t=1 <>x=1<> y=2

KL:  

$\left ( x,y \right )=\left ( 1,2 \right )$

 Cách này mình thấy dài và loằng ngoằng ai có cách khác hay hơn không


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cobetinhnghic96: 04-07-2013 - 07:27

                            

                    


#4
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

Từ hệ phương trình $\Rightarrow x ; y > 0 $

$pt \left(1 \right) \Leftrightarrow x\left(x + y \right)^{2} = 9 \Rightarrow x + y = \frac{3}{\sqrt{x}} \Leftrightarrow y = \frac{3}{\sqrt{x}} - x $

Thế  $y = \frac{3}{\sqrt{x}} - x $   vào   $pt \left(2 \right)  $  ta có :

$x\left[\left(\frac{3}{\sqrt{x}} - x\right)^{3}  - x^{3}\right] = 7         $    $\left(3 \right)$
     
Đặt $t = \sqrt{x}  $  nên  $pt \left(3 \right)   $ trở thành :

$t^{2}\left[\left(\frac{3}{t}  - t^{2}\right)^{3} - t^{6}\right] = 7$

$\Leftrightarrow \left[\left(3 - t^{3} \right)^{3} - t^{9}\right] = 7t$

Đặt  $f\left(t \right) = t^{9} - \left(3 - t^{3} \right)^{3} + 7t$

có : $f'\left(t \right) = 9t^{8} + 9t^{2}\left(3 - t^{3} \right)^{2} + 7 > 0 $

Nên $f\left(t \right)    $    là hàm số đồng biến

Mà $f\left(1 \right) = 0 \Rightarrow t = 1$  là nghiệm duy nhất của $pt \left(3 \right)$

$\Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = 2$

Vậy $\left(x ; y \right) = \left( 1 ; 2 \right)$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh