Tìm $x,y$ dương sao cho:
$$\frac{x+y}{2};\sqrt{xy};\dfrac{2xy}{x+y};\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}$$
có tổng bằng $66$ và chúng đều không nguyên.
Tìm $x,y$ dương sao cho:
$$\frac{x+y}{2};\sqrt{xy};\dfrac{2xy}{x+y};\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}$$
có tổng bằng $66$ và chúng đều không nguyên.
Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng cho bài toán này.
Hoa hồng hi vọng sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 6/8 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này
Đây là 4 dạng trung bình của 2 số $x,y$: trung bình cộng (arithmetic mean), trung bình nhân (geometric mean), trung bình điều hoà (harmonic mean), giá trị hiệu dụng (quadratic mean) nhưng tất cả đều tuân theo dạng trung bình tổng quát (generalized mean), các bạn có thể tham khảo tại đây.
Vì vậy, nếu chọn $x=y=\alpha, \alpha > 0$ thì ta có:
$\frac {x+y} {2}=\frac {\alpha+\alpha} {2}=\alpha$
$\sqrt {xy} =\sqrt{\alpha^{2}}=\alpha$
$\frac {2xy} {x+y} = \frac {2\alpha^2} {2\alpha} = \alpha$
$\sqrt{\frac {x^{2} + y^{2}} {2}} = \sqrt{\frac {2\alpha^{2}} {2}} = \alpha$
Rõ ràng khi $x=y$ thì các trung bình của chúng đều bằng nhau.
Vậy $\alpha+\alpha+\alpha+\alpha=66 \Leftrightarrow\alpha=\frac{66}{4}$
Thử lại thấy đúng, vậy $\exists x=y=\frac{66}{4}$ thoả yêu cầu đề bài
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Valar Morghulis: 06-08-2013 - 12:18
Đây là 4 dạng trung bình của 2 số $x,y$: trung bình cộng (arithmetic mean), trung bình nhân (geometric mean), trung bình điều hoà (harmonic mean), giá trị hiệu dụng (quadratic mean) nhưng tất cả đều tuân theo dạng trung bình tổng quát (generalized mean), các bạn có thể tham khảo tại đây.
Vì vậy, nếu chọn $x=y=\alpha, \alpha > 0$ thì ta có:
$\frac {x+y} {2}=\frac {\alpha+\alpha} {2}=\alpha$
$\sqrt {xy} =\sqrt{\alpha^{2}}=\alpha$
$\frac {2xy} {x+y} = \frac {2\alpha^2} {2\alpha} = \alpha$
$\sqrt{\frac {x^{2} + y^{2}} {2}} = \sqrt{\frac {2\alpha^{2}} {2}} = \alpha$
Rõ ràng khi $x=y$ thì các trung bình của chúng đều bằng nhau.
Vậy $\alpha+\alpha+\alpha+\alpha=66 \Leftrightarrow\alpha=\frac{66}{4}$
Thử lại thấy đúng, vậy $\exists x=y=\frac{66}{4}$ thoả yêu cầu đề bài
Nếu thế trong trường hợp x và y khác nhau thì sao nhỉ
Đề phải cho $x, y$ nguyên mới thú vị chứ nhỉ?
Em cũng nghĩ thế
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
Tìm $x,y$ dương sao cho:
$$\frac{x+y}{2};\sqrt{xy};\dfrac{2xy}{x+y};\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}$$
có tổng bằng $66$ và chúng đều không nguyên.
Dễ thấy $x=y=\frac{33}{2}$ là 1 nghiệm của bài toán.
Với $x,y>0$ và $x\neq y$, ta có :
$\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}>\sqrt{\frac{x^2+y^2+2xy}{4}}=\frac{x+y}{2}>\sqrt{xy}$ (1) (suy ra từ BĐT Cauchy)
Và vì $\sqrt{xy}$ là trung bình nhân của $\frac{x+y}{2}$ và $\frac{2xy}{x+y}$ nên ta có $\frac{x+y}{2}> \sqrt{xy}> \frac{2xy}{x+y}$ (2)
(1),(2) ---> $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}>\frac{x+y}{2}>\sqrt{xy}>\frac{2xy}{x+y}$
Từ đó có thể cm bài toán này có vô số nghiệm như sau :
Cho $y$ một giá trị p bất kỳ thuộc $(\frac{33}{2};\frac{33\sqrt{2}}{2})$.Ta xét hàm số :
$f(x)=\sqrt{\frac{x^2+p^2}{2}}+\frac{x+p}{2}+\sqrt{px}+\frac{2px}{x+p}-66$ ($f(x)$ là hàm liên tục trên $[0;\frac{33\sqrt{2}}{2})$
Khi đó $f(0)<4\sqrt{\frac{0^2+p^2}{2}}-66<4\sqrt{\frac{0^2+\frac{1089}{2}}{2}}-66=0$ ; $f(17)>\frac{8.p.17}{17+p}-66>\frac{8.\frac{33}{2}.17}{17+\frac{33}{2}}-66>0$
---> Tồn tại $x\in (0;17)$ là nghiệm của $f(x)$.
Do x,y có vai trò như nhau nên nếu $y\in (0;17)$ thì $x\in (\frac{33}{2};\frac{33\sqrt{2}}{2})$.
Như vậy với mỗi $y\in (0;\frac{33\sqrt{2}}{2})$ luôn tồn tại $x\in (0;\frac{33\sqrt{2}}{2})$ là nghiệm của $f(x)$.Gọi nghiệm đó là q.
Vì có vô số cách chọn p; với mỗi cách chọn p đều tồn tại ít nhất 1 giá trị q là nghiệm của $f(x)$ và số số nguyên thuộc $(0;\frac{33\sqrt{2}}{2})$ là hữu hạn nên có vô số cặp số $x=q;y=p$ thỏa mãn ĐK của bài toán.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 04-10-2013 - 09:52
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh