Chủ đề này có 1 trả lời

[bolero]

$\int_{0}^{1} \dfrac{\ln(1+x)\text dx}{x^2 +1}$

[vo van duc]

$\int_{0}^{1} \dfrac{\ln(1+x)\text dx}{x^2 +1}$

 

Đặt $x=\tan t$ ta có $dx=(1+\tan ^2t)dt$ và suy ra $\frac{dx}{1+x^2}=dt$

 

Với $x=0$ thì $t=0$, với $x=1$ thì $t=\frac{\pi }{4}$

 

Khi đó $$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\ln (1+\tan t)dt$$

 

Đặt $t=\frac{\pi }{4}-u$ suy ra $dt=-du$

 

Với $t=0$ thì $u=\frac{\pi }{4}$, với $t=\frac{\pi }{4}$ thì $u=0$

 

Ta có $$1+\tan t=1+\tan (\frac{\pi }{4}-u)=1-\frac{1-\tan u}{1+\tan u}=\frac{2}{1+\tan u}$$

 

Suy ra

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\ln \frac{2}{1+\tan u}du=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\left [ \ln 2-\ln (1+\tan u) \right ]du=\ln 2\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}du-I$

 

Suy ra $2I=\ln 2\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}du=\frac{\pi }{4}\ln 2$

 

Vậy $I=\frac{\pi }{8}\ln 2$

 

 

P/S: Đề này là đề Giúp bạn tự ôn thi số 3 của tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 311 tháng 5/2003.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 24-10-2013 - 15:59