Bất đẳng thức qua các kì thi Olimpic
Trong chủ đề này mình và các bạn cùng trao đổi về các BĐT olympic để đưa ra những lời giải cho nó và những MỞ RỘNG
ví dụ như trong kì thi IMO năm 2008 bài bất đẳng thc khá hay và có thẻ tổng quát như sau
x,y,z,m là các số thực thỏa mãn xyz=1 CMR
${\left( {\dfrac{{x + m}}{{x - 1}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{y + m}}{{y - 1}}} \right)^2}+ {\left( {\dfrac{{z + m}}{{z - 1}}} \right)^2} \ge 1.$
Trước khi nó bị xóa tại topic về BĐT mình đã kịp có lời giải như sau
Dặt $a = \dfrac{{x + m}}{{x - 1}},b = \dfrac{{y + m}}{{y - 1}},z = \dfrac{{z + m}}{{z - 1}}$
$ \Rightarrow x = \dfrac{{m + a}}{{a - 1}},y = \dfrac{{m + b}}{{b - 1}},z = \dfrac{{m + c}}{{c - 1}}$
Do $xyz=1$ nên $(m+a)(m+b)(m+a)=(a-1)(b-1)(c-1)$
khai triển ta được $\[({m^2} - 1)(a + b + c) + (m + 1)(ab + bc + ca) + ({m^3} + 1) = 0\]$
Với $m=-1$ hiển nhiên BĐT đung
Với $m \neq -1$ ta có $(m - 1)(a + b + c) + (ab + bc + ca) + ({m^2} - m + 1) = 0$
Vậy ${a^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2((m - 1)(a + b + c) + (ab + bc + ca) + {m^2} - m + 1) $
$= {(a + b + c)^2} + 2(m - 1)(a + b + c) + {(m - 1)^2} + {m^2} + 1 $
$= {(a + b + c + m - 1)^2} + {m^2} + 1 \ge 1$
Ta có đpcm
Mở đầu chủ đề nè
Bài 1:(Croatia TST 2011)cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$.CMR
$\dfrac{{{a^2}}}{{a + {b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{b + {c^2}}} + \dfrac{{{c^2}}}{{c + {a^2}}} \ge \dfrac{3}{2}$
Bài 2: Cho các số thực a,b,c,d khác 0 thỏa $a+b+c+d=0$ Dặt ${S_1} = ab + bc + cd;{S_2} = ac + ad + db$
CMR $S = \alpha {S_1} + \beta {S_2} \le 0$
Đây là bài tổng quát BĐT trong kì thi Croatia 1996
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 30-08-2011 - 20:49
Gõ tiếng Việt đầy đủ dấu