Chủ đề này có 7 trả lời

[dark templar]

Bài 1:Cho tam giác ABC cân tại A thỏa :$AI+AB=BC$ trong đó I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.Tính $\widehat{BAC}$.

Bài 2:Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh lần lượt là $a,b,c$.Xét tam giác $A_1B_1C_1$ có độ dài 3 cạnh lần lượt là $a+\dfrac{b}{2};b+\dfrac{c}{2};c+\dfrac{a}{2}$.Chứng minh rằng:
$$S_{A_1B_1C_1} \ge \dfrac{9}{4}S_{ABC}$$

[perfectstrong]

Mạo muội "thụi" bài 1
Giải:
Vẽ đường cao AH thì A,H,I thẳng hàng.
Đặt BH=x; AB=y.
Dễ cm $AI=y.\dfrac{\sqrt{y^2-x^2}}{y+x}$
Thay vào gt, ta có:
$$2x=y.\sqrt{\dfrac{y-x}{y+x}}+y$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{2x}{y}=\sqrt{\dfrac{y-x}{y+x}}+1$$
$$\Leftrightarrow \left( {\dfrac{2x}{y}-1} \right)^2=\dfrac{y-x}{y+x}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{4x^2}{y^2}-\dfrac{4x}{y}+1=1-\dfrac{2x}{y+x}$$
$$\Leftrightarrow y^2=2x^2$$
$$\Leftrightarrow \sin \dfrac{\angle BAC}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$
$$\Rightarrow \angle BAC=90^o$$

[dark templar]

Tặng tiếp Hân 2 bài này
Bài 3:Các đường cao AH,BE,CF của tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó tại các điểm thứ hai tương ứng M,N,K.Tính tổng $\dfrac{AM}{AH}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}$

Bài 4:(Nguyễn Bảo Phúc) Cho $\alpha$ là 1 số âm bất kỳ và Q là tâm đường tròn Euler của tam giác ABC.Cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC $R=1$.Tìm GTLN của $P=QA^{\alpha}+QB^{\alpha}+QC^{\alpha}$

[perfectstrong]

Bài 3:

Gọi I là trực tâm tam giác ABC.
Dễ thấy M,N,K lần lượt đối xứng với I qua BC,CA,AB.
$$\dfrac{AM}{AH}=1+\dfrac{HM}{HA}=1+\dfrac{HI}{HA}=1+\dfrac{S_{BIC}}{S_{BAC}}$$
Tương tự
$$\dfrac{BN}{BE}=1+\dfrac{S_{AIC}}{S_{BAC}}$$
$$\dfrac{CK}{CF}=1+\dfrac{S_{AIB}}{S_{BAC}}$$
Cộng lại, vế theo vế, ta có:
$$\dfrac{AM}{AH}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=4$$
=================
Anh Phúc giải giúp em bài 2, bài 4 đi. BĐT thì em bó tay

[dark templar]

Bài 3:

Gọi I là trực tâm tam giác ABC.
Dễ thấy M,N,K lần lượt đối xứng với I qua BC,CA,AB.
$$\dfrac{AM}{AH}=1+\dfrac{HM}{HA}=1+\dfrac{HI}{HA}=1+\dfrac{S_{BIC}}{S_{BAC}}$$
Tương tự
$$\dfrac{BN}{BE}=1+\dfrac{S_{AIC}}{S_{BAC}}$$
$$\dfrac{CK}{CF}=1+\dfrac{S_{AIB}}{S_{BAC}}$$
Cộng lại, vế theo vế, ta có:
$$\dfrac{AM}{AH}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=4$$
=================
Anh Phúc giải giúp em bài 2, bài 4 đi. BĐT thì em bó tay

Bài 2 xài công thức Hê-rông:
$$S^2_{ABC}=\dfrac{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{16}$$
$$S^2_{A_1B_1C_1}=\dfrac{3(a+b+c)(a+3b-c)(b+3c-a)(c+3a-b)}{256}$$
BĐT tương đương:
$$27(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le (a+3b-c)(b+3c-a)(c+3a-b)$$
Đặt $x=a+b-c;y=b+c-a;z=c+a-b \Rightarrow x,y,z>0;2b=x+y;2c=y+z;2a=z+x$
BĐT trở thành:
$$27xyz \le (2x+y)(2y+z)(2z+x)$$
Đến đây em tự làm được rồi nhé

[dark templar]

Còn bài 5 anh định kiếm lại link cho em(tại lười gõ Latex quá,bài đó anh giải dài lắm) nhưng không kiếm được link cho em.Em biết cách nào kiếm lại tất cả các topic mà mình đã tạo ra không ?

[perfectstrong]

Anh vào trang cá nhân, tìm cái nút Find contents ấy

[dark templar]

Bây giờ anh gợi ý cho em nhé
Sử dụng BĐT trung bình lũy thừa,ta có:
$$QA^{\alpha}+QB^{\alpha}+QC^{\alpha} \le 3\left(\dfrac{QA+QB+QC}{3} \right)^{\alpha}$$
Vậy bài toán quy về tìm GTLN của $H=QA+QB+QC$.