Trong tứ giác lồi bất kì có 3 cạnh bằng $a$ cho trước, hãy tìm tứ giác có diện tích lớn nhất.
Ta có : $m=2a.\sin\left(\frac{\widehat{B}}{2}\right);\ n=2a.\sin\left(\frac{\widehat{A}}{2}\right);$
$\alpha=180^o-\widehat{BAC}-\widehat{ABD}=108^o-\frac{180^o-\widehat{B}}{2}-\frac{180^o-\widehat{A}}{2}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}$, với $\widehat{A}=\widehat{BAD};\ \widehat{B}=\widehat{ABC}$
$\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AC}\text{ x }\overrightarrow{BD}\right|=\frac{1}{2}m.n.\sin\alpha=2a^2.\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)$
Do $0<A,B<180^o\Rightarrow 0<\frac{A}{2};\frac{B}{2}<90^o$ và hàm $\sin$ là hàm lõm dương trong khoảng $(0,90^0)$ nên suy ra :
$\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\overset{\text{Côsi}}{\le}\left(\frac{\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}}{2}\right)^2\overset{Jensen}{\le}\sin^2\left(\frac{A+B}{4}\right)$
$1=\frac{\sin^2\left(\frac{A+B}{4}\right)}{3}+\frac{\sin^2\left(\frac{A+B}{4}\right)}{3}+\frac{\sin^2\left(\frac{A+B}{4}\right)}{3}+\cos^2\left(\frac{A+B}{4}\right)$$\overset{\text{Côsi}}{\ge}4.\sqrt[4]{\frac{\sin^6\left(\frac{A+B}{4}\right)\cos^2\left(\frac{A+B}{4}\right)}{3^3}}=\frac{4\sqrt[4]{3}}{3}.\sqrt{\sin^3\left(\frac{A+B}{4}\right)\cos\left(\frac{A+B}{4}\right)}$
$\Rightarrow S\le 2a^2.\sin^2\left(\frac{A+B}{4}\right).2.\sin\left(\frac{A+B}{4}\right).\cos\left(\frac{A+B}{4}\right)\le 4a^2.\frac{3\sqrt{3}}{16}=\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow\begin{cases}A=B \\ \sin^2\left(\frac{A+B}{4}\right)=3.\cos\left(\frac{A+B}{4}\right)\end{cases}\Leftrightarrow A=B=120^o$
Vậy hình thang cân (đáy nhỏ = cạnh bên = a, đáy lớn = 2a) sẽ có diện tích lớn nhất và bằng $\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$.