Chủ đề này có 3 trả lời

[auhongan_au]

Giải hệ PT

$$ \dfrac{xy}{ay+bx} = \dfrac{yz}{cz+by}= \dfrac{zx}{ax+cz}= \dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-08-2013 - 17:31

[neversaynever99]

ĐK:$x,y,z\neq 0$

Hệ trên tương đương với

$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{c}{z}+\frac{a}{x}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{3}{2}.\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Suy ra

$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$

Đặt $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=t \Leftrightarrow x=at;y=bt;z=ct$

Do đó $\frac{a}{at}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2t^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})} \Leftrightarrow \frac{1}{t}=\frac{1}{2t^{2}} \Leftrightarrow t=\frac{1}{2}(t\neq 0)$

Do đó $x=\frac{a}{2};y=\frac{b}{2};z= \frac{c}{2}$

[Hoang Tung 126]

-Nếu x= thì y=0,z=0$= >$ Biểu thức vô nghĩa

$= > x,y,z$ đều khác 0.

Từ hệ phương trình ta có :$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{c}{z}+\frac{a}{x}=\frac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}= > 2(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z})=3(\frac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2})< = > \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{3}{2}.\frac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}= > \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=\frac{3}{2}.\frac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}-\frac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2(x^2+y^2+z^2)}$

Đặt $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=t= > x=at,y=bt,z=ct= > \frac{a}{x}=\frac{a}{at}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2t^2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{1}{2t^2}= > \frac{1}{t}=\frac{1}{2t^2}= > t=\frac{1}{2}= > x=\frac{a}{2},y=\frac{b}{2},z=\frac{c}{2}$

[Phuong Thu Quoc]

Giải hệ PT

$$ \dfrac{xy}{ay+bx} = \dfrac{yz}{cz+by}= \dfrac{zx}{ax+cz}= \dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}$$

Nếu $x=0$ thì $y=0, z=0$ $\Rightarrow$ phương trình vô nghĩa (loại)

Từ $\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}\Rightarrow xy\left ( bz+cy \right )=yz\left ( ay+bx \right )$

      $\Rightarrow cxy^{2}=azy^{2}\Rightarrow cx=az$                                                                           (1)

Tương tự ta có $ay=bx$                                                                                                                      (2)

Nếu $a=0$ thì từ (1)$\Rightarrow c=0$ (vì $x\neq 0$), từ (2) $\Rightarrow b=0$ (vô lí vì $a^{2}+b^{2}+c^{2}\neq 0$)

Nếu $abc\neq 0$ thì từ (1) và (2) $\Rightarrow z=\frac{cx}{a}, y=\frac{bx}{a}$

Vậy ta thu được $\frac{zx}{cx+az}=\frac{zx}{2az}=\frac{x}{2a}$ và $\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\frac{x^{2}+\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\frac{x^{2}}{a^{2}}$

      $\Rightarrow \frac{x}{2a}=\frac{x^{2}}{a^{2}}\Rightarrow x=\frac{a}{2}$

Tương tự ta thu được $y=\frac{b}{2}, z=\frac{c}{2}$

Thử lại ta thấy nghiệm đúng phương trình.

 

Vậy: Khi $a=0$ hoặc $b=0$ hoặc $c=0$ thì phương trình vô nghiệm

        Khi $abc\neq 0$ thì hệ có nghiệm duy nhất $\left ( \frac{a}{2} ,\frac{b}{2},\frac{c}{2}\right )$