Đến nội dung

Hình ảnh

[ĐẤU TRƯỜNG] Trận 5: DELTA - BETA


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 78 trả lời

#21
thangthan

thangthan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

Hì,mấy hôm nay không diễn đàn thì thấy bài của đội Beta bị chém tả tơi rồi ^^.Mình xin giải bài 3 của Beta.
Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc từ P đến BC,CA,AB.
Dễ thấy $R_1sinA=EF,R_2sinB=DF,R_3sinC=DE.$
Đặt $x=EPF,y=\angle FPD,z=\angle DPE thì x+y+z=\pi$
Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giÁc PEF ta có $EF^2=PE^2+PF^2-2PE.PF.cosx$.Tương tự cho 2 tam giÁc DPF và DPE.
Vậy ta chỉ cm ${r_1}^2+{r_2}^2+{r_3}^2+2r_1r_2cosz+2r_1r_3cosy+2r_1r_2cosz\geq 0$
Đặt $f(r_1)={r_1}^2+2r_1(r_2cosz+r_3cosy)+2r_2r_3cosycosz+{r_2}^2+{r_3}^2$ là 1 tam thức bậc hai ẩn là $r_1$.
Ta có $\Delta' _f=({r_2cosz+r_3cosy})^2-2r_2r_3cosx+{r_2}^2+{r_3}^2=-(({r_2sinz})^2+{(r_3siny)^2}+2r_2r_3(cosycosz-cos(2\pi-y-z)))=-(r_2sinz+r_3siny)^2\leq 0$
Vậy $f(r_1)$ luôn không âm nên ta có đpcm.



#22
taminhhoang10a1

taminhhoang10a1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
DELTA cố lên. Còn 1 bài nữa thôi. Cầu mong trận này giống kịch bản của trận trước
THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH

#23
khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
Câu 5:
Giả sử $NE \cap MF = I$. Ta cần chứng minh A, I, O thẳng hàng.
Ta có:
$\widehat{AEO}+\widehat{AFO}=180^{0}$
$ \Rightarrow $ Tứ giác AEON nội tiếp.
$ \Rightarrow \widehat{OEF}=\widehat{OAF}$
Vậy ta cần chứng minh: $\widehat{OEF}=\widehat{IAF}$
Mà: $\widehat{OEF}+\widehat{AEF}=90^{0}$
Ta cần chứng minh: $\widehat{IAF}+\widehat{AEF}=90^{0}$
Lại có: $\widehat{IAF}+\widehat{IAE}+\widehat{AEF}+\widehat{AFE}=180^{0}$
Vậy ta cần chứng minh:
$\widehat{IAE}+\widehat{AFE}=90^{0}$
Mà: $\widehat{IAE}+\widehat{SAE}=90^{0}$
$ \Rightarrow $ Ta cần chứng minh: $\widehat{AFE}=\widehat{SAE}$
Có:
$\widehat{SAE}=\widehat{ACB}$ (đều bằng 1/2 số đo cung AB)
$\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$ (do EF là đường trung bình của tam giác ABC)
Vậy ta có đpcm.

P/s: Ai bổ sung hộ cái hình.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanh3570883: 30-11-2011 - 11:41

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#24
Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
Hình đã gửi




Giả sử $NE \cap MF = I$. Ta cần chứng minh A, I, O thẳng hàng.
Ta có:
$\widehat{AEO}+\widehat{AFO}=180^{0}$
$ \Rightarrow $ Tứ giác AEON nội tiếp.
$ \Rightarrow \widehat{OEF}=\widehat{OAF}$
Vậy ta cần chứng minh: $\widehat{OEF}=\widehat{IAF}$
Mà: $\widehat{OEF}+\widehat{AEF}=90^{0}$
Ta cần chứng minh: $\widehat{IAF}+\widehat{AEF}=90^{0}$
Lại có: $\widehat{IAF}+\widehat{IAE}+\widehat{AEF}+\widehat{AFE}=180^{0}$
Vậy ta cần chứng minh:
$\widehat{IAE}+\widehat{AFE}=90^{0}$
Mà: $\widehat{IAE}+\widehat{SAE}=90^{0}$
$ \Rightarrow $ Ta cần chứng minh: $\widehat{AFE}=\widehat{SAE}$
Có:
$\widehat{SAE}=\widehat{ACB}$ (đều bằng 1/2 số đo cung AB)
$\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$ (do EF là đường trung bình của tam giác ABC)
Vậy ta có đpcm.


Trận này em không làm được bài nào cho BETA cả nên đành đóng góp cái hình vậy.
--------------------------------
BETA CỐ LêN
--------------------------------
P/S: Trọng tài cho em hỏi là kết quả trên máy tính điện tử có chấp nhận và được điểm tối đa không ạ

PSW : 0/7 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 09-12-2011 - 19:06

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#25
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Ý em hỏi về bài so sánh $300!$ với $100^{300}$
Không cần hỏi Ý kiến của trọng tài, thì tôi cũng có thể khẳng định rằng "không được!"

#26
taminhhoang10a1

taminhhoang10a1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

Ý em hỏi về bài so sánh $300!$ với $100^{300}$
Không cần hỏi Ý kiến của trọng tài, thì tôi cũng có thể khẳng định rằng "không được!"

Ý anh là sao ạ
THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH

#27
Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
Kết quả bài so sánh đó em đã làm ra bằng cách sử dụng máy tính điện tử. Em đang không biết có nên làm vậy không nên hỏi thế thôi

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#28
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Nói chung thì thật ra cũng khó mà nói trong trường hợp này ; câu hỏi của Cao Xuân Huy có bị bác hay được chấp nhận . PSW nhớ khi học lớp 12 ; có 1 cậu bạn dc ra trong đề câu sau :

Tính $ (1000-1)^7$ ; người thầy nghĩ học trò dù dùng máy tính thì cũng không tính ra chính xác dc ; buộc phải tính tay bằng nhị thức Newton ; nhưng ngày nay ; với những máy tính hiện đại ; câu hỏi này có thể dc làm chỉ bằng 1 dòng và đương nhiên ai dám nói sai . Nên nhớ là từ lớp 6 trở đi ; học sinh được dùng máy tính điện tử để làm các con Toán đơn thuần là cộng trừ nhân chia :) . Người ta dùng đến Maple để làm những bài BĐT rất trâu bò và những lời gảii đó ; về mặt Toán học vẫn chấp nhận dc

Và ngay trên báo THTT với những câu lớp 6 kiểu này ; thường để phải có câu " Không dùng máy tính "

Nhưng nói chung ; đây là sân chơi trí tuệ nên PSW vẫn xin trả lời rõ ràng là lời giải bằng máy tính thì không dc chấp nhận ; và nếu có cho điểm thì cũng chỉ là điểm " lao động" cho vui thôi ; không có ý nghĩa gì mấy ; ví dụ 0,25/6 chẳng hạn
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#29
thangthan

thangthan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
Mình nghĩ bài 2 của Beta có vấn đề.Vì ta chỉ cần xét 3 điểm A,B,D bất kì trên mặt phẳng.Khi đó theo công thức tính diện tích hình thang thì luôn tồn tại điểm để ABCD là hình thang có 2 đáy là AB,CD và diện tích là 1.Do đó đường chéo BD có thể lấy giá trị dương tùy ý.

#30
taminhhoang10a1

taminhhoang10a1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
dù sao thì đề thế nào cũng đuợc. Nhỡ đây là câu hỏi mẹo thì sao
THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH

#31
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Đây là câu 1 thay thế của Delta

Câu 1 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O ; bán kính R ; ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính r . AB ; BC tiếp xúc đường tròn tâm I này tại M ; N . Đường thẳng MN lại cắt đường tròn tâm O ; bán kính R tại P ; Q

Chứng minh : PQ $ \ge $ 2MN

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 27-11-2011 - 13:35

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#32
khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
Gợi ý cho Huy câu 2:


Click here

Chú ý cái tính chất 5
$300! > {100^{300}}$

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#33
taminhhoang10a1

taminhhoang10a1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
mấy hôm nay thấy trận đấu yên lặng quá. Cố lên anh em ơi
THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH

#34
CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1456 Bài viết

Mình nghĩ bài 2 của Beta có vấn đề.Vì ta chỉ cần xét 3 điểm A,B,D bất kì trên mặt phẳng.Khi đó theo công thức tính diện tích hình thang thì luôn tồn tại điểm để ABCD là hình thang có 2 đáy là AB,CD và diện tích là 1.Do đó đường chéo BD có thể lấy giá trị dương tùy ý.

Mình tính ra đề ở dạng mập mờ như vậy cho các bạn suy nghĩ, nhưng thấy các bạn hiểu sai vấn đề nhiều quá nên có thể nói rõ thêm chút xíu:
Đề: Diện tích hình thang bằng 1. Hỏi đường chéo hình thang có thể lấy giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
Nói thêm: Đường chéo hình thang có giá trị nhỏ nhất, ý của ongtroi là.......không phải một đường chéo mà cả hai đường chéo! Vậy nếu các bạn tìm ra một đường chéo nào đó có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu thì....đường còn lại cũng phải có giá trị nhỏ nhất mà nó có thể nhận được trong những trường hợp đó là bao nhiêu?! Hay đơn giản hơn: đó chính là giá trị nhỏ nhất của đường chéo lớn nhất!

#35
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
BETA giải câu 6 của DELTA

Bài toán yêu cầu chứng mình: Tập hợp các số dư của $B_i$ cho $100$ có ít nhất $11$ phần tử. Suy ra ta cần chứng minh: Có ít nhất $11$ số $B_i$ không chia hết cho $100$.

Tức là, ta chứng minh có nhiều nhất $89$ số $B_i$ chia hết cho $100$.

Giả sử có ít nhất $90$ số $B_i$ chia hết cho $100$. Ta sẽ khẳng định điều này không tồn tại.

Thật vậy:

Ta chọn $B_{k_1},B_{k_2},...,B_{k_{90}}$ chia hết cho $100$.

Không mất tính tổng quát, giả sử $B_{k_1}$ nhỏ nhất trong $B_{k_j}$, với $j=1,2,...90$. Với cách xác định $B_{i}$ thì $B_{k_j}>B_{k_l}$ $(k>l)$

Do đó:$$B_{k_1} \ge 100$$
$$B_{k_2} \ge 200$$
$$B_{k_3} \ge 300$$
$$...............$$
$$B_{k_{90}}\geq 9000$$
Suy ra: $$\sum\limits_{j = 1}^{90} {{B_{{k_j}}}} \geqslant 100(1 + 2 + ... + 90) = 409500\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Mặt khác:$$\sum\limits_{i = 1}^{100} {{B_i}} = 100{a_1} + 99{a_2} + .... + {a_{100}} \leqslant 100.100 + 99.99 + .... + 1$$

(theo BĐT hoán vị)

$$ \Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^{100} {{B_i}} \leqslant \dfrac{{100.101.201}}{6} = 338350\,\,\,\,(2)$$
Từ (1), (2) suy ra không tồn tại $90$ số $B_i$ chia hết cho $100$.

Trường hợp có nhiều hơn $90$ số $B_i$ chia hết cho $100$ thì theo chứng minh trên hiển nhiên không xảy ra.

Vậy ta có điều phải chứng minh.


PSW :

Lập luận trong lời giải bài Toán này ngay từ đầu đã không đúng

Đề yêu cầu chứng minh tập hợp các số dư khi chia 100 số $B_i$ cho $100$ có ít nhất 11 phần tử ; tức là có thể có 11 số dư khác nhau ; bạn lại đi chứng minh có ít nhất 11 số $B_i$ không chia hết cho 100 ; thế cả 11 số này đồng dư với 1 modulo 100 thì sao ??

2/8 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 26-01-2012 - 22:46


#36
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
xusinst đội BETA giải câu 4 đội DELTA
$$\left( {x + y} \right)\left( {f(x) - f(y)} \right) = (x - y)f(x + y)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$$
Lời giải 1:

Giả sử tồn tại hàm số $f\left( x \right)$ thoả mãn bài toán.

Trong $(*)$ cho $y=2$, ta được: $$f\left( {x + 2} \right) = \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 2 \right)} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Trong $(*)$ cho $y=1$, ta được: $$f\left( {x + 1} \right) = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \right)$$
Suy ra: $$f\left( {x + 2} \right) = \dfrac{{x + 2}}{x}\left( {f\left( {x + 1} \right) - f\left( 1 \right)} \right) = \dfrac{{x + 2}}{x}\left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \right) - f\left( 1 \right)} \right)$$
Do đó: $$ \Leftrightarrow f\left( {x + 2} \right) = \dfrac{{x + 2}}{x}\left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}f\left( x \right) - 2f\left( 1 \right)\dfrac{x}{{x - 1}}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$$
Từ (1) và (2), ta được: $$\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 2 \right)} \right) = \dfrac{{x + 2}}{x}\left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}f\left( x \right) - 2f\left( 1 \right)\dfrac{x}{{x - 1}}} \right)$$
$$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 2}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 2 \right)} \right) = \dfrac{{x + 1}}{{x\left( {x - 1} \right)}}f\left( x \right) - 2f\left( 1 \right)\dfrac{1}{{x - 1}}$$
$$ \Leftrightarrow 2f\left( 1 \right)\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x - 2}}f\left( 2 \right) = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x\left( {x - 1} \right)}} - \dfrac{1}{{x - 2}}} \right)f\left( x \right)$$
$$ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{f\left( 2 \right)}}{2}\left( {x - 1} \right)x - f\left( 1 \right)\left( {x - 2} \right)x = \left( {\dfrac{{f\left( 2 \right)}}{2} - f\left( 1 \right)} \right){x^2} + \left( {2f\left( 1 \right) - \dfrac{{f\left( 2 \right)}}{2}} \right)x$$
Suy ra: $f\left( x \right) = a{x^2} + bx,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thấy thoả phương trình $(*)$.

Vậy hàm số cần tìm là $f\left( x \right) = a{x^2} + bx\,\,\,\,\left( {\,a,b \in \mathbb{R}} \right)$
________________________________________________________________
Lời giải 2:

Giả sử tồn tại hàm số $f\left( x \right)$ thoả mãn bài toán.

Đặt $P\left( {x,y} \right)$ là hàm của $\left( {x + y} \right)\left( {f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right) = \left( {x - y} \right)f\left( {x + y} \right)$

Khi đó: $$P\left( {x + 1, - x} \right):\,\,f\left( {x + 1} \right) - f\left( { - x} \right) = \left( {2x + 1} \right)f\left( 1 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
$$P\left( { - x,x - 1} \right):\,\, - f\left( { - x} \right) + f\left( {x - 1} \right) = \left( {1 - 2x} \right)f\left( { - 1} \right)\,\,\,\,\,\,(2)$$
$$P\left( {x + 1,x - 1} \right):\,\,2x\left( {f\left( {x + 1} \right) - f\left( {x - 1} \right)} \right) = 2f\left( {2x} \right) \Leftrightarrow f\left( {x + 1} \right) - f\left( {x - 1} \right) = \dfrac{{f\left( {2x} \right)}}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$$
Lấy $(1) - (2) - (3)$, ta được: $$0 = \left( {2x + 1} \right)f\left( 1 \right) - \left( {1 - 2x} \right)f\left( { - 1} \right) - \dfrac{{f\left( {2x} \right)}}{x}$$
$$ \Leftrightarrow f\left( {2x} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {f\left( 1 \right) + f\left( { - 1} \right)} \right){\left( {2x} \right)^2} + \dfrac{1}{2}\left( {f\left( 1 \right) - f\left( { - 1} \right)} \right)2x$$
Suy ra: $f\left( x \right) = a{x^2} + bx,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thấy thoả phương trình $(*)$.

Vậy hàm số cần tìm là $f\left( x \right) = a{x^2} + bx\,\,\,\,\left( {\,a,b \in \mathbb{R}} \right)$
_______________________________________________________________
Lời giải 3:

Giả sử tồn tại hàm số $f\left( x \right)$ thoả mãn bài toán.

Từ phương trình $(*)$ suy ra: $$f\left( x \right) - f\left( y \right) = \dfrac{{x - y}}{{x + y}}f\left( {x + y} \right)$$
Ta có: $$f\left( x \right) - f\left( y \right) = f\left( x \right) - f\left( z \right) + f\left( z \right) - f\left( y \right) = \dfrac{{x - z}}{{x + z}}f\left( {x + z} \right) + \dfrac{{z - y}}{{z + y}}f\left( {z + y} \right)$$
Từ đó cho ta: $$\dfrac{{x - y}}{{x + y}}f\left( {x + y} \right) = \dfrac{{x - z}}{{x + z}}f\left( {x + z} \right) + \dfrac{{z - y}}{{z + y}}f\left( {z + y} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Đặt: $y + z = a;z + x = b;x + y = c$, khi đó $(1)$ trở thành:
$$\dfrac{{b - a}}{c}f\left( c \right) = \dfrac{{c - a}}{b}f\left( b \right) + \dfrac{{b - c}}{a}f\left( a \right)$$
Cố định $a,b \Rightarrow f\left( a \right),f\left( b \right)$ không đổi, ta được:
$$f\left( c \right) = \left( {\dfrac{1}{{a - b}}\left( {\dfrac{{f\left( a \right)}}{a} - \dfrac{{f\left( b \right)}}{b}} \right)} \right){c^2} + \left( {\dfrac{1}{{a - b}}\left( {\dfrac{a}{b}f\left( b \right) - \dfrac{b}{a}f\left( a \right)} \right)} \right)c$$
Suy ra: $f\left( x \right) = A{x^2} + Bx,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thấy thoả phương trình $(*)$.

Vậy hàm số cần tìm là $f\left( x \right) = A{x^2} + Bx\,\,\,\,\left( {\,A,B \in \mathbb{R}} \right)$

PSW : 7/7 điểm :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 09-12-2011 - 19:09


#37
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Nhắn các thành viên BETA: Mọi người vào kiểm tra lại xem những bài trên đã được chưa, có vấn đề gì phải bổ sung hay thay đổi không. Sắp kết thúc trận đấu rồi.

#38
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết
hoangtrong2305 của DELTA giải bài 2 của BETA

Gọi d1, d2 là độ dài 2 đường chéo hình thang và P1, P2 là độ dài hình chiếu của 2 đường chéo có độ dài d1, d2 lên cạnh đáy CD. Gọi CB=b, AB=a, h là chiều cao hình thang.

Giả sử $d_{1}\geq d_{2}=>P1\geq P2$

Ta có: $P1+P2=a+b=>2P1\geq P1+P2=a+b$

<=> $2P1\geq a+b$

<=> $P1\geq \dfrac{a+b}{2}=\dfrac{S}{h}=\dfrac{1}{h}$ (vì theo giả thiết diện tích hình thang bằng 1)

Ta có: $\Delta AHC\perp H$

=> $d_{1}^{2}=P_{1}^{2}+h_{1}^{2}\geq \dfrac{1}{h^{2}}+h^{2}\geq 2$ (theo AM-GM)

Vậy $Min_{d_{1}}=\sqrt{2}<=>h=P1=P2=1$

PSW : 6/7 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 27-01-2012 - 11:41

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#39
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
xusinst đội BETA giải câu 2 đội DELTA

Nhận thấy hai số cần so sánh có dạng $n!$ và ${\left( {\dfrac{n}{3}} \right)^n}$ với $n$ là số tự nhiên khác không.

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp khẳng định sau: $$n!>\left ( \dfrac{n}{3} \right )^{n}\Leftrightarrow 3^{n}n!>n^{n},\; \forall n\in \mathbb{N}^{*}\; \; \; \; \; \; \left ( * \right )$$

Với $n=1$ thì $(*) \Leftrightarrow 3 > 1$ đúng.

Giả sử $(*)$ đúng với $n = k,k \geqslant 1,k \in {\mathbb{N}^*}$ tức ${3^k}k! > {k^k}$

Ta chứng minh $(*)$ đúng với $n = k + 1$ hay ${3^{k + 1}}\left( {k + 1} \right)! > {\left( {k + 1} \right)^{k + 1}}$.

Thật vậy, ta có: ${3^{k + 1}}\left( {k + 1} \right)! = {3.3^k}k!\left( {k + 1} \right) = 3\left( {k + 1} \right){3^k}k! > 3\left( {k + 1} \right){k^k}$ (theo giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: $$3\left( {k + 1} \right){k^k} > {\left( {k + 1} \right)^{k + 1}} \Leftrightarrow 3\left( {k + 1} \right){k^k} > \left( {k + 1} \right){\left( {k + 1} \right)^k}$$

$ \Leftrightarrow 3{k^k} > {\left( {k + 1} \right)^k} \Leftrightarrow 3 > {\left( {\dfrac{{k + 1}}{k}} \right)^k} = {\left( {1 + \dfrac{1}{k}} \right)^k}$ đúng $\forall k \in {\mathbb{N}^*}$


Vậy $(*)$ đúng với $n = k + 1$. Theo nguyên lí quy nạp suy ra $(*)$ đúng $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ hay $n! > {\left( {\dfrac{n}{3}} \right)^n},\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Trở lại bài toán: Chọn $n=300$ ta được: $\boxed{300! > {{100}^{300}}}$.

PSW : 6/6 điểm :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 18-01-2012 - 23:16


#40
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Trận này đúng là trận đấu của hiệp 2 :))
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh