Chủ đề này có 4 trả lời

[phamvanha92]

Anh em, thầy cô giúp mình!!!!!
Câu 1 Tìm số nguyên tố n sao cho: $P=n^n+1$ có ít hơn 19 chữ số.
Câu 2
Tìm 3 số a,b,c sao cho :
$$ \left( \dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c} \right) \left(a+b+c \right)$$ là số nguyên
Câu 3
Tìm mọi số n nguyên tố sao cho:
$$A=\dfrac{2^n+3^n}{11}$$ là số chính phương
Câu 4
Tìm 3 số nguyên $x,y,z$ sao cho:
$$X^2 +Y^2 +Z^2$$ là số nguyên tố
MOD: Bạn nên gõ 1 phần bài toán lên tiêu đề, học latex ở đường dẫn dưới chữ kí của mình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamvanha92: 17-11-2011 - 16:10

[nguyenta98]

Bài 1: Bạn xem lại đề bài 1 đi, không cần dữ kiện n là số nguyên tố đâu vì sở dĩ nếu là số nguyên tố thì $n=2$ thì bài toán quá đơn giản vì nếu $n>2$ thì $n^n+1$ chẵn suy ra loại
Thực ra bài này không cần đến dữ kiện $n$ là số nguyên tố đâu
Giải như sau:
Dễ thấy: Nếu $n=16$ suy ra $n^n+1=16^{16}1=2^{64}+1>2^{64}$
Lại có $2^{46}>2^{45}=(2^5)^9=32^9>25^9=(5^2)^9=5^{18}$ suy ra $2^{46}.2^{18}>5^{18}.2^{18}$ hay $2^{64}>10^{18}$
Suy ra $n=16$ loại vì khi đó nó vượt quá 19 chữ số.
Như vậy suy ra $n<16$ (1)
Lại thấy $n$ không có bất kì ước lẻ nào vì nếu giả sử $n$ chia hết cho $q$ với $q$ lẻ suy ra đặt $n=qt$
Suy ra $n^n+1=n^{qt}+1=(n^t)^q+1=(n^t+1)(....)$ (**) (ta hoàn toàn phân tích ra hằng đẳng thức này được vì $q$ lẻ
Suy ra vô lý vì $n^n+1$ là số nguyên tố mà lại có trên 2 ước suy ra loại
Suy ra $n$ bắt buộc phải có dạng $2^m$ (2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra $n=1,2,4,8$
Với $n=1$ dễ thấy đúng.
Với $n=2,4$ thì cũng thấy đúng. (bạn thay vào sẽ thấy rõ)
Với $n=8$ suy ra $n=2^3$
Suy ra $n^n+1=(2^3)^{2^8}+1=2^{3.2^3}+1=(2^{2^3}+1)(...)$ ( do 3 lẻ nên ta phân tích như (**)) suy ra loại vì có trên 2 ước.
Tóm lại bài toán chỉ có $n=1,2,4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 16-11-2011 - 11:30

[nguyenta98]

Bài 3:
Xét $n=2$ loại
Xét $n=3$ loại
Xét $n=5$ chọn
Nếu $n>5$ đặt $n=5k+r$ với ($0<r<5$ (1)do n là số nguyên tố)
TH1: $k$ chẵn
Suy ra $2^n+3^n=2^{5k+r}+3^{5k+r}=(2^5)^k.2^r+(3^5)^k.3^r=32^k.2^r+243^k.3^r \equiv (-1)^k.2^r+1^k.3^r \equiv 2^r+3^r \ mod({11})$ (vì $k$ chẵn)
Lại có $0<r<5$ theo (1) suy ra ta lần lượt thay $r=1,2,3,4$ vào $2^r+3^r$ suy ra loại vì $2^r+3^r$ phải chia hết cho 11 để thỏa nãm $(2^n+3^n)/11$ là số nguyên
Suy ra trường hợp này loại
TH2: $k$ lẻ
Suy ra $2^n+3^n=2^{5k+r}+3^{5k+r}=(2^5)^k.2^r+(3^5)^k.3^r=32^k.2^r+243^k.3^r \equiv (-1)^k.2^r+1^k.3^r \equiv 3^r-2^r \ mod({11})$ (vì $k$ lẻ nên $(-1)^k$=$-1$)
Lại có $0<r<5$ ta lại thay $r=1,2,3,4$ dễ thấy loại vì khi đó $3^r-2^r$ không chia hết 11 loại.
Suy ra với $n>5$ mà $n$ nguyên tố nên $n=5k+r$ với $0<r<5$ nhưng ta đã chứng minh nó không thỏa mãn trong 2 th trên nên suy ra bài toán chỉ có nghiệm $n=5$
Vậy $n=5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 08-01-2012 - 11:04

[nguyenta98]

Ở bài 4 theo mình X,Y,Z phải là số nguyên.
Giải như sau:
Trước tiên ta chứng minh mọi số nguyên tố chia 4 dư 1 thì đều có thể viết được dưới dạng tổng 2 số chính phương.
Để chứng minh nhận định trên mời bạn vào: http://vi.wikipedia....số_chính_phương để xem cách chứng minh, mình không muốn viết lại nữa
Một khi đã có nhận định trên ta đã tìm được số X, Y còn số Z ta để nó bằng 0 là mọi việc đã xong.
Chú ý bài này có vô hạn nghiệm do có vô số số nguyên tố chia 4 dư 1.

[Devil25]

Mình xin trả lời câu 2
Nếu gcd(a,b,c)=k, ta sẽ đặt a=kx, b=ky, c=kz. Như vậy thay vào ta hoàn toàn đưa được về dạng (x+y+z)*($frac{1}{x}$+$frac{1}{y}$+$frac{1}{z}$)=$\dfrac{(x+y+z)(xy+yz+zx)}{xyz}$ nguyên với (x,y,z)=1
Ta xét 2 trường hợp sau:1/ y và z cùng chia hết cho một số n với /n/>1, x thì không: khi ấy x+y+z không chia hết cho n, và xy+yz+zx cũng ko, trong khi ấy mẫu chia hết cho $n^2$. Vậy /n/=1 nhưng như thế sẽ dẫn tới x ko chia hết cho 1. Điều này loại
trường hợp 2: (x,y,z)=1. Khi ấy do $\dfrac{(x+y+z)(xy+yz+zx)}{xyz}$ nguyên nên $\dfrac{(x+y+z)(xy+yz+zx)}{xyz}$ -1 nguyên hay $\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz} nguyên. Do (x,y,z)=1 nên (y+z,z)=1 và (x+z,z)=1. Vì thế có x+y chia hết z và tương tự cũng có y+z chia hết x, z+x chia hết y.
Đến đấy ta đã có x+y+z chia hết cho cả x,y,z. Mà (x,y,z)=1 nên sẽ có x+y+z chia hết xyz, như vậy được A= $\dfrac{1}{xy}$+$\dfrac{1}{zy}$+$\dfrac{1}{zx}$ nguyên. Khi dùng chặn ta có thể xét được miền giá trị của A chỉ trong khoảng từ -3 đến 3. Như thế ta sẽ lần lượt thay các giá trị của A từ -3 đến 3(trừ 0 ra vì thay vào sẽ ra x hoặc y hoặc z=0, điều vô lý). Như thế ta sẽ tìm được x,y,z và cuối cùng tìm được dạng nghiệm của a,b,c theo hệ số k nguyên với x,y,z. Theo mình bài này chắc chỉ có 2 kiểu đó là a=b=c và a=b=-c(và các hoán vị) thôi.

P/S rất tiếc phần bôi đỏ của bạn bị làm sai, mình thấy để chứng minh phần này khá phức tạp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 08-06-2012 - 22:07