Bài toán: Tính $\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{1+\sin{x}}{1+\cos{x}}e^{x}dx$
Tính $\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{1+\sin{x}}{1+\cos{x}}e^{x}dx$
Bắt đầu bởi dark templar, 23-12-2011 - 21:40
#2
Đã gửi 23-12-2011 - 22:55
Crystal
-
- Hiệp sỹ
-
- 5534 Bài viết
ANGRY BIRDS
Bài toán: Tính $\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{1+\sin{x}}{1+\cos{x}}e^{x}dx$
Ta có: $$I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{1 + \sin x}}{{1 + \cos x}}{e^x}dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{{e^x}}}{{1 + \cos x}}} dx + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\sin x{e^x}}}{{1 + \cos x}}} dx$$
$$ = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{{e^x}}}{{2{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}} dx + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {tg\dfrac{x}{2}{e^x}dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}d\left( {tg\dfrac{x}{2}} \right) + } \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {tg\dfrac{x}{2}{e^x}dx} $$
$$ = \left. {{e^x}tg\dfrac{x}{2}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = \boxed{{e^{\dfrac{\pi }{2}}}}$$
- dark templar, hura, bugatti và 2 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
