Bài 501 : Cho các số thực bất kỳ a,b,c.CMR $\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\geq\frac{9}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
p/s : sao mọi người không đánh STT của bài cho dễ theo dõi nhỉ
BĐT$\Leftrightarrow (\sum a^2)\left [ \sum \frac{1}{(a-b)^2} \right ]\geq \frac{9}{2}$.
Vì $3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$
nên ta chỉ cần cm $\left [ \sum (a-b)^2 \right ]\left [ \sum \frac{1}{(a-b)^2} \right ]\geq \frac{27}{2}$ (1).
Đặt $x=a-b, y=b-c\Rightarrow c-a=-(x+y)$. BĐT (1)$\Leftrightarrow (x^2+xy+y^2)\left [ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2} \right ]\geq \frac{27}{4}$. Theo BĐT AM-GM:$x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2\geq \frac{3}{4}(x+y)^2; \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{2}{xy}\geq \frac{8}{(x+y)^2}$.
Nhân 2 BĐT này lại ta có ngay đpcm
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck