Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{(a+1)(3a^2+ab+b^2)}{(2a+b)(b^2+c^2)}\geq 10$

* * * * * 2 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
\[\frac{(a+1)(3a^2+ab+b^2)}{(2a+b)(b^2+c^2)}+\frac{(b+1)(3b^2+bc+c^2)}{(2b+c)(c^2+a^2)}+\frac{(c+1)(3c^2+ca+a^2)}{(2c+a)(a^2+b^2)}\geq 10\]

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
\[\frac{(a+1)(3a^2+ab+b^2)}{(2a+b)(b^2+c^2)}+\frac{(b+1)(3b^2+bc+c^2)}{(2b+c)(c^2+a^2)}+\frac{(c+1)(3c^2+ca+a^2)}{(2c+a)(a^2+b^2)}\geq 10\]

 

Trông kết quả này chắc có một số bạn sẽ bỏ toán. Xét

\[P = \frac{(a+1)(3a^2+ab+b^2)}{(2a+b)(b^2+c^2)}+\frac{(b+1)(3b^2+bc+c^2)}{(2b+c)(c^2+a^2)}+\frac{(c+1)(3c^2+ca+a^2)}{(2c+a)(a^2+b^2)}-10,\]

và đặt

\[\begin{aligned}
A&=36a^6+102a^5b+37a^5c+114a^4b^2+104a^4bc+126a^3b^3+102a^3b^2c\\&+81a^2b^4+133a^2b^3c+12a^2bc^3+18ab^5+68ab^4c+9ab^3c^2+12b^2c^4+6bc^5,\end{aligned}\]

thì

\[P = \frac{\displaystyle \sum bA(a-b)^2}{(2a+b)(2c+a)(2b+c)(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} \geqslant 0.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#3
yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Trông kết quả này chắc có một số bạn sẽ bỏ toán. Xét

\[P = \frac{(a+1)(3a^2+ab+b^2)}{(2a+b)(b^2+c^2)}+\frac{(b+1)(3b^2+bc+c^2)}{(2b+c)(c^2+a^2)}+\frac{(c+1)(3c^2+ca+a^2)}{(2c+a)(a^2+b^2)}-10,\]

và đặt

\[\begin{aligned}
A&=36a^6+102a^5b+37a^5c+114a^4b^2+104a^4bc+126a^3b^3+102a^3b^2c\\&+81a^2b^4+133a^2b^3c+12a^2bc^3+18ab^5+68ab^4c+9ab^3c^2+12b^2c^4+6bc^5,\end{aligned}\]

thì

\[P = \frac{\displaystyle \sum bA(a-b)^2}{(2a+b)(2c+a)(2b+c)(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} \geqslant 0.\]

   SOS kiểu này gãy tay 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh