Chủ đề này có 2 trả lời

[Tham Lang]

Không biết bài này đã có trên diễn đàn hay chưa, nhưng mình cũng post lên đây để các bạn suy nghĩ, nói chung nó cũng không khó lắm.
Cho phương trình : $$x^4 + ax^3 + 2x^2 + bx + 1 = 0$$
Chứng minh rằng, nếu pt trên có ít nhất 1 nghiệm thì $a^2 + b^2 \ge 8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 12-01-2012 - 12:43

[Ispectorgadget]

Hình như bài này gần giống bài ở đây
http://diendantoanho...l=&fromsearch=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 12-01-2012 - 13:51

[duchanh1911]

Vì x=0 không phải là nghiệm nên ta chia cả 2 vế cho $x^{2}$ ta có:
$x^{2}+ax+\frac{1}{x^{2}}+\frac{b}{x}+2=0(1)$
Lúc này ta xem phương trình này là phương trình bậc 2 theo x.
Nếu phương trình đầu có ít nhất một nghiệm thì (1) cũng có ít nhất 1 nghiệm,tức là:
$ \Delta =a^{2}-4(\frac{1}{x^{2}}+\frac{b}{x}+2)\geq 0$
$\Leftrightarrow a^{2}-8-4((\frac{1}{x}+\frac{b}{2})^{2}-\frac{b^{2}}{4})\geq 0$
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-8\geq 4(\frac{1}{x}+\frac{b}{2})^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\geq 8$
dấu "=" xẩy ra khi:$x=-\frac{2}{b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duchanh1911: 12-01-2012 - 17:57