Chủ đề này có 1 trả lời

[lancruiser]

Cho a, b, c là các số thực không âm, không có hai số nào đồng thời bằng không, thỏa mãn $$ab+bc+ca=3$$. Chứng minh rằng:
$$\frac{5a^2}{2a^2+3}+\frac{5b^2}{2b^2+3}+\frac{5c^2}{2c^2+3}+\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\leq 4$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 05-02-2012 - 19:54

[Tham Lang]

Cho a, b, c là các số thực không âm, không có hai số nào đồng thời bằng không, thỏa mãn $$ab+bc+ca=3$$. Chứng minh rằng:
$$\frac{5a^2}{2a^2+3}+\frac{5b^2}{2b^2+3}+\frac{5c^2}{2c^2+3}+\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\leq 4$$

Lời giải :
BĐT cần chứng minh tương đương :
$$\sum \dfrac{5a^2}{2a^2+ab+bc+ca} +\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \le 4$$
$$\Leftrightarrow \sum \left (\dfrac{5a^2}{2a^2+ab+bc+ca}-1\right )+\left (\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}-1\right ) \le 0$$
$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{3a^2-ab-bc-ca}{2a^2+3} +\dfrac{ab+bc+ca-a^2-b^2-c^2}{a^2+b^2+c^2} \le 0$$
$$4\Leftrightarrow \sum \dfrac{(a-b)\dfrac{3a+c}{2}+(a-c)\dfrac{3a+b}{2}}{2a^2+3} -\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2\left (a^2+b^2+c^2\right )} \le 0$$
$$\Leftrightarrow \sum (a-b)\left (\dfrac{3b+c}{2b^2+3}-\dfrac{3a+c}{2a^2+3}\right )+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{a^2+b^2+c^2} \ge 0$$
$$\Leftrightarrow \sum \left [(a-b)^2\dfrac{4ab-3}{\left (2a^2+3\right )\left (2b^2+3\right )}+\dfrac{(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2}\right ] \ge 0$$
$$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2\left [\dfrac{4ab-3}{\left (2a^2+3\right )\left (2b^2+3\right )}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\right ]\ge 0$$
Giả sử $a\ge b\ge c$ .Lúc đó, chuyển về dạng chứng minh :
$$S_a(b-c)^2+S_b(c-a)^2+S_c(a-b)^2 \ge 0$$
Với :

• $S_a=\dfrac{4bc-3}{\left (2b^2+3\right )\left (2c^2+3\right )}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}$
• $S_b=\dfrac{4ac-3}{\left (2a^2+3\right )\left (2c^2+3\right )}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{4ac\left (a^2+b^2+c^2\right )-3\left (a^2+b^2+c^2\right )+4a^2c^2+6\left (a^2+c^2\right )+9}{\left (2a^2+3\right )\left (2c^2+3\right )\left (a^2+b^2+c^2\right )}=\dfrac{3\left (a^2+c^2-b^2\right )+X}{Y} \ge 0$ Vì $X, Y>0$
• $S_c=\dfrac{3\left (a^2+b^2-c^2\right )+Z}{T} >0$ vì $Z, T>0$

Như vậy, chỉ cần chứng minh :
$$a^2S_b+b^2S_a \ge 0$$
$$\Leftrightarrow a^2\left (\dfrac{4ac-3}{\left (2a^2+3\right )\left (2c^2+3\right )}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\right )+b^2\left [\dfrac{4ac-3}{\left (2b^2+3\right )\left (2c^2+3\right )}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\right ] \ge 0$$
$$\Leftrightarrow a^2\left [(4ac-3)\left (a^2+b^2+c^2\right )+4a^2c^2+6\left (a^2+c^2\right )+9\right ]\left (2b^2+3\right )+b^2\left [(4bc-3)\left (a^2+b^2+c^2\right )+4b^2c^2+6\left (b^2+c^2\right )+9\right ]\left (2a^2+3\right ) \ge 0$$
$$\Leftrightarrow a^2\left [4ac\left (a^2+b^2+c^2\right ) +4a^2c^2+9+3\left (a^2+c^2-b^2\right )\right ]\left (2b^2+3\right )+b^2\left [4bc\left (a^2+b^2+c^2\right ) +9+3\left (b^2+c^2-a^2\right ) \right ]\left (2a^2+3\right ) \ge 0$$
Ta chỉ cần xét :
$$ a^2\left (a^2+c^2-b^2\right )\left (2b^2+3\right ) +b^2\left (b^2+c^2-a^2\right )\left (2a^2+3\right ) =3\left (a^2-b^2\right )^2 +3c^2\left (a^2+b^2\right )+4a^2b^2c^2 \ge 0$$
BĐT đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 13-08-2012 - 07:58