Chủ đề này có 2 trả lời

[wallunint]

Lâu ngày mới có thời gian vào lại forum zz
Thấy toàn mấy bài lấy trong sách zz
Mình post bài này cho các bạn làm thử
Bài này sử dụng kĩ thuật cần bằng hệ số nhá

Cho $0 \le x \le 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$A = ax\sqrt {1 + {x}^{2}} + bx\sqrt {1 - x^2 } $

Đây là bài toán đc tổng quát hóa từ bài toán sau:

Cho $0 \le x \le 1$. Giải phương trình:
$x\left( {9\sqrt {1 + x^2 } + 13\sqrt {1 - x^2 } } \right) = 16$
Tức là phải chứng minh: $x\left( {9\sqrt {1 + x^2 } + 13\sqrt {1 - x^2 } } \right) \le 16$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 16-02-2012 - 20:46

[Tham Lang]

Mình xin trình bày trường hợp nhỏ để mọi người suy ra trường hợp tổng quát nhé.
Bài giải :
$$VT = \dfrac{9ax\sqrt{1 + x^2}}{a} + \dfrac{13b\sqrt{1 - x^2}}{b} \le \dfrac{9(a^2x^2 + 1 + x^2)}{a} + \dfrac{13(b^2x^2 + 1 - x^2)}{b}$$
Lúc này, cần chọn $a, b$ sao cho Tổng các hệ số của $x^2$ không đổi (=0). và xảy ra dấu bằng trong cả hai lần sử dụng bđt $AM-GM$.
ta có hệ
$$\left\{\begin{array}{1}\dfrac{9(a^2 + 1)}{2a} + \dfrac{13(b^2 - 1)}{2b} = 0 \\ a^2x^2 = 1 + x^2 \\b^2x^2 = 1 - x^2 \end{array}\right .$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{1}\dfrac{9(a^2 + 1)}{2a} + \dfrac{13(b^2 - 1)}{2b} = 0 \\ a^2 - 1 = b^2 + 1 \end{array}\right.$$
Giải hệ, suy ra $a = \dfrac{3}{2}, b = \dfrac{1}{2}$
suy ra ĐPCM.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 18-02-2012 - 18:55

[Ispectorgadget]

Cho $0 \le x \le 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$A = ax\sqrt {1 + {x}^{2}} + bx\sqrt {1 - x^2 } $

$$VT=\frac{a}{s}.sx\sqrt{1+x^2}+\frac{b}{t}tx\sqrt{1-x^2}\leq \frac{a}{2s}.[s^2x^2+(1+x^2)]+\frac{b}{2t}[t^2x^2+(1-x^2)]$$
$=\frac{1}{2}(as+\frac{a}{s}+bt-\frac{b}{t})x^2+\frac{1}{2}(\frac{a}{s}+\frac{b}{t})$
Ta chọn s,t sao cho vế trái không phụ thuộc vào x đồng thời tồn tại x để dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức AM-GM
Do $(s-t)(s+t)=2$ nên đơn giản nhất ta chọn $s-t=1,s+t=2$ và ta chọn được $s=\frac{3}{2};t=\frac{1}{2}$. Thay vào phương trình đầu ta được $a.\frac{13}{6}=b\frac{3}{2}$.
Nếu chọn $a=9;b=13$ ta được bài toán trên.