Chủ đề này có 1 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Cho $a,b>0$ thỏa mãn:$a^3+b^5 \le a^2+b^2$.Chứng minh rằng:
$$b-\frac{1}{a^2+b^2} \le \frac{1}{2}$$

[Tham Lang]

Bài toán: Cho $a,b>0$ thỏa mãn:$a^3+b^5 \le a^2+b^2$.Chứng minh rằng:
$$b-\frac{1}{a^2+b^2} \le \frac{1}{2}$$

Lời giải :
Áp dụng AM-GM ta có :
$$a^2+b^2\ge a^3+b^5 \Leftrightarrow 2\left (a^2+b^2\right )\ge 2\left (a^3+b^5\right ) = a^3+a^3+1+b^5+b^5+1+1+1-4 \ge 3a^2+5b^2-4$$
$$\Leftrightarrow a^2+b^2 \le 4-2b^2$$
Lúc đó :
$$b-\frac{1}{a^2+b^2} \le b-\dfrac{1}{4-2b^2}$$
Cần chứng minh :
$$b-\dfrac{1}{4-2b^2} \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow (2b+3)(b-1)^2 \ge 0$$
BĐT đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=1$