Chủ đề này có 1 trả lời

[Tham Lang]

Một tứ giác có độ dài 3 cạnh bằng 1, diện tích bằng $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ . Hãy tính độ dài cạnh còn lại và độ lớn các góc của tam giác đó.

[Ispectorgadget]

Đây là bài toán tổng quát hơn.
Trong tứ giác lồi có 3 cạnh bằng a cho trước hãy tìm tứ giác có diện tích lớn nhất

Dựng AH vuông góc BD
Đặt AH=x
Tam giác ABD cân tại B
AH là đường cao đồng thời là trung tuyến suy ra H là trung điểm BD
$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{BCD}\leq \frac{1}{2}AH.BD+\frac{1}{2}.BD.BC=\frac{1}{2}BD.(AH+BC)=\frac{1}{2}BD(x+a)$
Áp dụng Đl Pythagore trong $\Delta AHB$ vuông tại A
$HB^2=AB^2-AH^2$ =$a^2-x^2$
$\Rightarrow HB=\sqrt{a^2-x^2}$
Lại xó: $HB=\frac{1}{2}BD\Rightarrow BD=2\sqrt{a^2-x^2}$
$\Rightarrow S_{ABCD}\leq \frac{1}{2}.2\sqrt{a^2-x^2}(x+a)=\sqrt{(a-x)(a+x)^2(a+x)}=\sqrt{(a-x)(a+x)^3}$
$=\sqrt{\frac{1}{3}(3a-3x)(a+x)^3}$
Áp dụng BĐT AM-Gm cho 4 số: 3a-3x;a+x;a+x+a+x
$3a-3x+a+x+a+x+a+x\geq 4\sqrt[4]{(3a-3x)(a+x)^3}\Leftrightarrow 6a\geq 4\sqrt[4]{(3a-3x)(a+x)^3}$
$\Leftrightarrow \frac{81}{16}a^4\geq (3a-3x)(a+x)^3\Leftrightarrow \frac{27}{16}a^4\geq (a+x)^3(a-x)$
$\Rightarrow \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2\geq \sqrt{(a-x)(a+x)^3}\Rightarrow S_{ABCD}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$
$\Rightarrow \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2\geq \sqrt{(a-x)(a+x)^3}\Rightarrow S_{ABCD}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{array}{l}
\widehat{DBC} = 90^0 \\
3a - 3x = a + x \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat{DBC} = 90^0 \\
a = 2x \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow \widehat{ABD}=90^0-30^0=60^0$
$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{DAB}=30^0+90^0=120^0$
$BD=2\sqrt{a^2-x^2}=2\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=a\sqrt{3}$
$tgBDC=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{BDC}=30^0$
$\Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{ADB}+\widehat{BDC}=60^0\Rightarrow$ tứ giác ABCD nội tiếp (tổng 2 góc đổi = $180^0$)
$AB=AD=BC$ và $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}\Rightarrow AB//CD$
Do đó ABCD là nửa lục giác đều