Chủ đề này có 1 trả lời

[letjteo]

a, b, c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức

\[{({a^2}b + {b^2}a + {a^2}c + {c^2}a + {b^2}c + {c^2}b)^2} \ge 4(ab + bc + ba)({a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {b^2}{a^2})\]

Mọi người giải giúp mình

(trích "đề thi học sinh giỏi toán 11 nam định năm 2000")

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letjteo: 29-03-2012 - 17:27

[Tham Lang]

Giải : (Lần sau bạn nhớ post qua THPT nhé )
Ta có $$VT \ge 4\left (a^2b + b^2c + c^2a\right )\left (ab^2 + bc^2 + ca^2\right )$$
Ta sẽ chứng minh :$\left (a^2b + b^2c + c^2a\right )\left (ab^2 + bc^2 + ca^2\right ) \ge (ab + bc + ca)\left (a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2\right ) (1)$
Thật vậy :
$$(1) \Leftrightarrow 3a^2b^2c^2 + abc\left (a^3 + b^3 + c^3\right ) \ge abc\left (ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)\right )$$
$$\Leftrightarrow 3abc + a^3 + b^3 + c^3 \ge ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)$$
Bất đẳng thức này đúng. ($schur$)
ĐPCM.