Đề thi học sinh giỏi lớp 10 tỉnh Thái Nguyên 2012:
Cho x, y, z là các số dương. CMR:
$\frac{\left( x+1 \right){{\left( y+1 \right)}^{2}}}{3\sqrt[3]{{{z}^{2}}{{x}^{2}}}+1}+\frac{\left( y+1 \right){{\left( z+1 \right)}^{2}}}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}+1}+\frac{\left( z+1 \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}}{3\sqrt[3]{{{y}^{2}}{{z}^{2}}}+1}\ge x+y+z+3$
$\sum{\frac{\left( x+1 \right){{\left( y+1 \right)}^{2}}}{3\sqrt[3]{{{z}^{2}}{{x}^{2}}}+1}}$
Bắt đầu bởi leminhansp, 30-03-2012 - 14:53
#1
Đã gửi 30-03-2012 - 14:53
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!
Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com
#2
Đã gửi 30-03-2012 - 20:43
Giải :
Ta có
$$\dfrac{(x + 1)(y + 1)^2}{3\sqrt[3]{z^2x^2} + 1} \ge \dfrac{(x + 1)(y + 1)^2}{x + xz + z + 1} = \dfrac{(x + 1)(y + 1)^2}{(x + 1)(z + 1)} = \dfrac{(y + 1)^2}{z + 1}$$
Do đó,
$$\dfrac{(x + 1)(y + 1)^2}{3\sqrt[3]{x^2z^2} + 1} + \dfrac{(y + 1)(z + 1)^2}{3\sqrt[3]{x^2y^2} + 1} + \dfrac{(z + 1)(x + 1)^2}{3\sqrt[3]{y^2z^2} + 1} \ge \dfrac{(y + 1)^2}{z + 1} + \dfrac{(z + 1)^2}{x + 1} + \dfrac{(x + 1)^2}{y + 1}$$
$$\ge \dfrac{(x + y + z + 3)^2}{x + y + z + 3} = x + y + z + 3$$
ĐPCM.
Ta có
$$\dfrac{(x + 1)(y + 1)^2}{3\sqrt[3]{z^2x^2} + 1} \ge \dfrac{(x + 1)(y + 1)^2}{x + xz + z + 1} = \dfrac{(x + 1)(y + 1)^2}{(x + 1)(z + 1)} = \dfrac{(y + 1)^2}{z + 1}$$
Do đó,
$$\dfrac{(x + 1)(y + 1)^2}{3\sqrt[3]{x^2z^2} + 1} + \dfrac{(y + 1)(z + 1)^2}{3\sqrt[3]{x^2y^2} + 1} + \dfrac{(z + 1)(x + 1)^2}{3\sqrt[3]{y^2z^2} + 1} \ge \dfrac{(y + 1)^2}{z + 1} + \dfrac{(z + 1)^2}{x + 1} + \dfrac{(x + 1)^2}{y + 1}$$
$$\ge \dfrac{(x + y + z + 3)^2}{x + y + z + 3} = x + y + z + 3$$
ĐPCM.
- perfectstrong, Ispectorgadget, leminhansp và 3 người khác yêu thích
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh