1 reply to this topic

[miengiatri]

Tìm nghiệm nguyên dương của PT $$7^{x}=3.2^{y}+1$$

Edited by miengiatri, 05-04-2012 - 20:25.

[nguyenta98]

Tìm nghiệm nguyên dương của PT $$7^{x}=3.2^{y}+1$$

Giải như sau:
Nếu $y=1 \rightarrow x=1$ chọn
Nếu $y>1 \rightarrow VP \equiv 1 \pmod{4}$ như thế $7^x \equiv 1 \pmod{4} \rightarrow x=2k$
Viết lại đề $$7^{2k}-1=3.2^y \rightarrow (7^k-1)(7^k+1)=3.2^y$$
Vì $3|7^k-1$ mặt khác $gcd(7^k-1,7^k+1)=2$ nên
TH1: $7^k-1=3.2^{y-1},7^k+1=2 \rightarrow k=0 \rightarrow x=0$ loại do $x>0$
TH2: $7^k-1=3.2, 7^k+1=2^{y-1} \rightarrow (7^k+1)-(7^k-1)=2^{y-1}-3.2=2 \rightarrow 2^{y-1}=8 \rightarrow y=4 \rightarrow x=2$
Vậy $\boxed{(x,y)=(1,1),(2,4)}$