Chủ đề này có 4 trả lời

[perfectstrong]

Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn $xy+yz+xz=1$.
Chứng minh rằng:
\[
x^2 + y^2 + z^2 + 4\left( {\frac{1}{{x^2 + 1}} + \frac{1}{{y^2 + 1}} + \frac{1}{{z^2 + 1}}} \right) \ge 10
\]

Đã sửa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 15-04-2012 - 10:25

[Tham Lang]

Mong Hân xem lại đề ra. Với $x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ thì VT= 10 mà.

[Tham Lang]

Hu hu, mình làm như thế này không biết có đúng không nữa, vì những biểu thức này chưa lần nào mình dám làm. Thế thì làm liều vậy, mong mọi người xem giùm nhé
$f(x,y,z)= x^2+y^2+z^2 + 4\left (\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}+\dfrac{1}{z^2+1}\right ) - 10 \ge x^2+y^2+z^2+ \dfrac{16}{x^2+y^2+2}+\dfrac{4}{z^2+1} - 10 = f\left (\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}, \sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}, z\right )$
Việc còn lại của ta chính là chứng minh $$f(x,x,z) \ge 0 (1)$$
Thật vậy lúc đó :$x^2+2xz=1 \Leftrightarrow z = \dfrac{1-x^2}{2x}$
Thay vào, ta có
$$(1)\Leftrightarrow 2x^2+ \left (\dfrac{1-x^2}{2x}\right )^2+ \dfrac{8}{x^2+1}+\dfrac{4}{\left (\dfrac{1-x^2}{2x}\right )^2+1} \ge 10$$
$$\Leftrightarrow 2x^2+\dfrac{x^4-2x^2+1}{4x^2}+\dfrac{8}{x^2+1}+\dfrac{16x^2}{(x^2+1)^2}\ge 10$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{9x^2}{4}+\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{8}{x^2+1}+\dfrac{16x^2}{(x^2+1)^2}\ge \dfrac{21}{2}$$
$$\Leftrightarrow \left (\dfrac{9x^2}{4}-\dfrac{3}{4}\right ) +\left (\dfrac{1}{4x^2}-\dfrac{3}{4}\right )+\left (\dfrac{8}{x^2+1}-6\right )+\left (\dfrac{16x^2}{(x^2+1 )^2}-3\right ) \ge 0$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{3(3x^2-1)}{4}+\dfrac{1-3x^2}{4x^2}+\dfrac{2(1-3x^2)}{x^2+1}+\dfrac{(1-\sqrt{3}x)(x-\sqrt{3})(\sqrt{3}x+1)(x+\sqrt{3})}{(x^2+1)^2}\ge 0$$
$$\Leftrightarrow \left (\sqrt{3}x-1\right )\left [\dfrac{3(\sqrt{3}x+1)}{4}-\dfrac{\sqrt{3}x+1}{4x^2}-\dfrac{2(\sqrt{3}x+1)}{x^2+1}+\dfrac{(3-x^2)(\sqrt{3}x+1)}{(x^2+1)^2}\right ]\ge 0$$
$$\Leftrightarrow \left (\sqrt{3}x-1\right )\left [ \left (\dfrac{3(\sqrt{3}x+1)}{4}-\dfrac{3}{2}\right )-\left (\dfrac{\sqrt{3}x+1}{4x^2}-\dfrac{3}{2}\right )- \left (\dfrac{2(\sqrt{3}x+1)}{x^2+1}-3\right )+ \dfrac{(3-x^2)(\sqrt{3}x+1)}{(x^2+1)^2}-3 \right ] \ge 0$$
$$\Leftrightarrow \left (\sqrt{3}x-1\right )^2\left [\dfrac{3(\sqrt{3}x-1)}{4}+\dfrac{2\sqrt{3}x+1}{4x^2}+\dfrac{\sqrt{3}x-1}{x^2+1}- \dfrac{\sqrt{3}x^3+2x^2+3x}{(x^2+1)^2}\right ]\ge 0$$
Hay ta cần chứng minh :
$$\dfrac{3(\sqrt{3}x-1)}{4}+\dfrac{2\sqrt{3}x+1}{4x^2}+\dfrac{\sqrt{3}x-1}{x^2+1}-\dfrac{\sqrt{3}x^3+2x^2+3x}{(x^2+1)^2}\ge 0$$
Thật vậy :
$$BĐT \Leftrightarrow \dfrac{3\sqrt{3}x}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{2x}+\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{\sqrt{3}x}{x^2+1}\ge \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{\sqrt{3}x^3+2x^2+3x}{(x^2+1)}$$
Để ý rằng :
$$\dfrac{3\sqrt{3}x}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{2x}\ge 2\sqrt{\dfrac{9}{2}} > 4$$
$$\dfrac{\sqrt{3}x^3+2x^2+3x}{(x^2+1)^2}\le 2 \Leftrightarrow 2x^4+2x^2+2 \ge \sqrt{3}x^3+3x (2)$$
(2) Đúng vì $$2x^4+2x^2+2 \ge 2x^4 + 4x = \left (x^4+x^4+x\right ) + 3x \ge 3x^3+ 3x \ge \sqrt{3}x^3+3x$$
Như vậy, chỉ cần chứng minh :
$$4 + \dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{\sqrt{3}x}{x^2+1} \ge 2 +\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{x^2}+1\Leftrightarrow \dfrac{5}{4}+\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{\sqrt{3}x}{x^2+1}\ge \dfrac{1}{x^2+1} (3)$$
Lại có :
$$\dfrac{5}{4}+\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{\sqrt{3}x}{x^2+1}= \left (\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4x^2}\right )+1 +\dfrac{\sqrt{3}x}{x^2+1}\ge \dfrac{1}{x^2+1}+1+\dfrac{\sqrt{3}x}{x^2+1}$$
Do đó, (3) đúng.
Bất đẳng thức ban đầu đã được chứng minh.
Mong mọi người tìm ra chỗ sai sót.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 16-04-2012 - 06:03

[Tham Lang]

Một hướng khác cho bài toán này
Để ý rằng : $x^2+1=x^2+xy+yz+zx=(x+z)(x+y)$ nên
$$VT = x^2+y^2+z^2+4\left (\dfrac{1}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{1}{(y+z)(z+x)}+\dfrac{1}{(z+x)(x+y}\right ) =x^2+y^2+z^2 +\dfrac{8(x+y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}=x^2+y^2+z^2+\dfrac{8(x+y+z)}{(x+y+z)-xyz}$$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :
$$x^2+y^2+z^2+\dfrac{8(x+y+z)}{x+y+z-xyz}\ge 10\Leftrightarrow \left (x^2+y^2+z^2\right )(x+y+z-xyz)+8(x+y+z)\ge 10(x+y+z)- 10xyz$$
$$\Leftrightarrow \left (x^2+y^2+z^2\right )(x+y+z)+10xyz\ge 2(x+y+z)+\left (x^2+y^2+z^2\right )xyz \Leftrightarrow (x+y+z)^3+12xyz \ge 4(x+y+z)+(x+y+z)^2xyz$$
Đến đây dường như bài toán đã khá sáng sủa. Mong mọi người tìm cách tối ưu nhất.

[Tham Lang]

Một hướng khác cho bài toán này
Để ý rằng : $x^2+1=x^2+xy+yz+zx=(x+z)(x+y)$ nên
$$VT = x^2+y^2+z^2+4\left (\dfrac{1}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{1}{(y+z)(z+x)}+\dfrac{1}{(z+x)(x+y}\right ) =x^2+y^2+z^2 +\dfrac{8(x+y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}=x^2+y^2+z^2+\dfrac{8(x+y+z)}{(x+y+z)-xyz}$$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :
$$x^2+y^2+z^2+\dfrac{8(x+y+z)}{x+y+z-xyz}\ge 10\Leftrightarrow \left (x^2+y^2+z^2\right )(x+y+z-xyz)+8(x+y+z)\ge 10(x+y+z)- 10xyz$$
$\Leftrightarrow \left (x^2+y^2+z^2\right )(x+y+z)+10xyz\ge 2(x+y+z)+\left (x^2+y^2+z^2\right )xyz $ $\Leftrightarrow (x+y+z)^3+12xyz \ge 4(x+y+z)+(x+y+z)^2xyz$
Đến đây dường như bài toán đã khá sáng sủa. Mong mọi người tìm cách tối ưu nhất.

Không ai cho ý kiến à ? Vậy mình xin tiếp tục với một cách khác nhé (có sự hỗ trợ của đứa bạn)
Mình sẽ tiếp tục với cách sử dụng S.O.S
Biến đổi tương đương :
$$\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+10xyz+xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)\ge 2(x+y+z)(xy+yz+zx)+xyz\left (x^2+y^2+z^2\right )\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+4xyz\ge xy(x+y)+yz(y+z)+zx(x+z)+xyz(x^2+y^2+z^2)$$
$$\Leftrightarrow xyz(xy+yz+zx-x^2-y^2-z^2)+x^3+y^3+z^3+3xyz-xy(x+y)-yz(y+z)-zx(z+x)\ge 0$$
Để ý rằng :
$$1. xyz\left (xy+yz+zx-x^2-y^2-z^2\right ) = \dfrac{-xyz\left ((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\right )}{2}$$
$$2. x^3+y^3+z^3+3xyz-xy(x+y)-yz(y+z)-zx(z+x) = (x+y+z)\left (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right ) - \left (x(y^2+z^2-2yz)+y(x^2+z^2-2xz)+z(x^2+y^2-2xy)\right ) = \dfrac{(x+y+x)\left ((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\right ) - 2z(x-y)^2-2x(y-z)^2-2y(z-x)^2}{2}=\dfrac{(x+y-z)(x-y)^2+(-x+y+z)(y-z)^2+(x-y+z)(z-x)^2}{2}$$
Từ đó suy ra :
$$BDT \Leftrightarrow (x+y-z-xyz)(x-y)^2+(x-y+z-xyz)(x-z)^2+(-x+y+z-xyz)(y-z)^2\ge 0$$
$S_x = -x+y+z-xyz $
$S_y=x-y+z -xyz$
$S_z=x+y-z-xyz$
Không mất tính tổng quát, giả sử $x\ge y\ge z$
Để ý rằng :
$S_y = x-y+z-xyz\ge z -xyz = zx(y+z)\ge 0$
$S_y+S_x= 2z-2xyz= 2xz(y+z) \ge 0$
$S_z+S_y=2x^2(y+z) \ge 0$
Nên hiển nhiên :
$$S_z(x-y)^2+S_y(z-x)^2+S_x(y-z)^2 \ge 0$$
Suy ra ĐPCM.
Mình xin mở rộng thành bài toán sau :
Tìm hằng số $k$ tốt nhất để bất đẳng thức sau luôn đúng với $x,y,z \ge 0, xy+yz+zx = 1$
$$x^2+y^2+z^2 +k\left (\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}+\dfrac{1}{z^2+1}\right ) \ge \dfrac{9k+4}{4}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 29-04-2012 - 17:16