Chủ đề này có 1 trả lời

[alex_hoang]

Đề bài:Tìm tất các các hàm số $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$ thoả
$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y),\forall x,y\in\mathbb{Q}.$$
Olympic 30-4-2012

[tieulyly1995]

Đề bài:Tìm tất các các hàm số $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$ thoả
$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y),\forall x,y\in\mathbb{Q}.$$
Olympic 30-4-2012

Giả sử tồn tại hàm số $f(x) $ thỏa mãn đề bài.
Cho $y=0$ ta được $f(0)=0$
Cho $x=0$ ta được $f(y)=f(-y)$ $\Rightarrow$ $f(x)$ là hàm chẵn
Ta xét $f(x) $ với $x>0$
Đặt $f(1)=a$:
_ cho $x=y=1$, ta được $f(2)=4a=2^{2}a$
_ cho $x=2; y=1$ ta được $f(3)=9a=3^{2}a$
........................
_ quy nạp ta được $f(n)=n^{2}a$, với $n\epsilon N^{*}$ (1)
Do $f(x)$ chẵn và $f(0)=0=0^{2}a$ nên $f(n)=n^{2}a , \forall n\epsilon Z$
_Cho $x=y$ ta được $f(2x)= 4f(x)= 2^{2}f(x)$
.........................
_ quy nạp ta được $f(nx)= n^{2}f(x), \forall n\epsilon N^{*}, \forall x\epsilon R$ (2)
Kết hợp (1) vói (2) ta có :
$n^{2}a=f(n)= f(m\frac{n}{m})= m^{2}f(\frac{n}{m})\Rightarrow f(\frac{n}{m})= (\frac{n}{m})^{2}a , \forall n\epsilon Z, \forall m\epsilon N^{*}$
$\Rightarrow f(r)= r^{2}a , \forall r\epsilon Q$
Thử lại : thỏa mãn
Vậy hàm cần tìm là $f(x)=ax^{2}$
------------------------------------------------
p/s : bài này mình nhớ là làm rồi, hồi năm lớp 10 , mọi người kiểm tra xem có chính xác không , mấy cái quy nạp mình chưa c/m, toàn dự đoán thôi