Chủ đề này có 3 trả lời

[Dung Dang Do]

Giải pt nghiệm nguyên.
$$x^y+y=y^x+x.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98ka: 22-04-2012 - 11:15

[Crystal]

Giải pt nghiệm nguyên.
$$x^y+y=y^x+x.$$

HD: Ta sẽ chứng minh rằng nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là $x=y$ hoặc là với $x \le y$ ta có hai khả năng nghiệm sau đây:

1. $x=1$,$y$ là những số nguyên bất kì.

2. $x=2,y=3$

Chứng minh sao nhỉ? Mọi người tiếp tục

[AzAZ09]

cho hỏi bài này là nguyên dương hay nguyên vậy ?

[Idie9xx]

Giải pt nghiệm nguyên.
$$x^y+y=y^x+x.$$

- Với $x,y\leq 0$ thì $x^y+y^x\not \in \mathbb{Z}(x,y\neq 1)\Rightarrow x^y=y^x\Rightarrow x=y$

- Với $x>0,y\leq 0$ thì do $x^y\in (0;1]\Rightarrow x=1$ hoặc $y=0$ (do $x,y\in \mathbb{Z}$) nhưng chỉ có $x=1$ thỏa mãn

- Với $x,y>0$

 +TH $x=y$ ta thấy thỏa mãn $\forall x\in \mathbb{Z^+}$

 + TH $x\neq y$

 Giả sử $x>y\Rightarrow x^y+y=y^x+x>y^x+y\Rightarrow x^y>y^x\Rightarrow \sqrt[x]{x}>\sqrt[y]{y}$

 Xét hàm $f(x)=\sqrt[x]{x}$ trên khoảng $(1;+\infty)$ là hàm liên tục

 Có $f'(x)=\dfrac{(1-\ln x)\sqrt[x]{x}}{x^2}$ ta có $f'(x)=0\Leftrightarrow x=e$

 $\Rightarrow f$ có cực đại tại điểm có hoành độ $e$ (do $f(e)>f(2)$)

 $\Rightarrow f$ đồng biến trên $(1;e)$ nghịch biến trên $(e;+\infty)$.

 Kết hợp với $f(n)\geq f(1),\forall n\in \mathbb{Z^+}$ và $f(2)=f(4)$ nên để thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $x>y$ và $\sqrt[x]{x}>\sqrt[y]{y}$ thì cặp $(x,y)$ là $(3,2)$ hoặc $(n,1),\forall n\in \mathbb{Z^+}$ thỏa mãn.

Kết luận phương trình có các nghiệm $(x,y)$ là $(1,n);(n,1);(m,m);(2,3);(3,2),\forall n,m\in \mathbb{Z},m\neq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 08-10-2013 - 16:38