Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn $xy+xz+yz=1$. Chứng minh rằng $$(\frac{1-x^2}{1+x^2})+(\frac{1-y^2}{1+y^2})+2(\frac{1-z^2}{1+z^2})\leq \frac{9}{4}$$

                                                                     Đề thi thử Môn Toán Khối A lần 1 Trường Đại Học Hồng Đức , Thanh Hóa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 23-07-2015 - 14:22

[khanh3570883]

Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn $xy+xz+yz=1$. Chứng minh rằng $$(\frac{1-x^2}{1+x^2})+(\frac{1-y^2}{1+y^2})+2(\frac{1-z^2}{1+z^2})\leq \frac{9}{4}$$

Ta có:$$xy + yz + zx = 1 \Rightarrow z = \frac{{1 - xy}}{{x + y}}$$
Vậy ta cần chứng minh:
$$\begin{array}{l}
\dfrac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{{1 - {y^2}}}{{1 + {y^2}}} + 2\left[ {\frac{{1 - {{\left( {\dfrac{{1 - xy}}{{x + y}}} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {\dfrac{{1 - xy}}{{x + y}}} \right)}^2}}}} \right] \le \dfrac{9}{4} \\
\Leftrightarrow \dfrac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{{1 - {y^2}}}{{1 + {y^2}}} + 2\left[ {1 - \dfrac{{2{x^2}{y^2} - 4xy + 2}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}} \right] \le \dfrac{9}{4} \\
\Leftrightarrow \dfrac{{25}}{4}{x^2}{y^2} + \dfrac{1}{4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 8xy + \dfrac{9}{4} \ge 0 \\
\end{array}$$
Ta cần chứng minh:
$$\begin{array}{l}
\frac{{25}}{4}{x^2}{y^2} - \frac{{15}}{2}xy + \frac{9}{4} \ge 0 \\
\Leftrightarrow \frac{{25}}{4}{\left( {xy - \frac{3}{5}} \right)^2} \ge 0 \\
\end{array}$$
Vậy ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = \frac{3}{{\sqrt {15} }}$ và $z = \frac{1}{{\sqrt {15} }}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 23-07-2015 - 14:21