Đến nội dung

Hình ảnh

${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+kabc\ge 3+k$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Stranger411

Stranger411

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
Mình đang viết 1 chuyên đề về phương pháp tìm hằng số lớn nhất cho bđt.
Mong các bạn góp ý :D

Bài toán 1: Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm hằng số k lớn nhất để bđt sau đúng:

$${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+kabc\ge 3+k$$

Bài toán 2: (Stranger411)Cho các số thực không âm a,b,c thỏa $ab+bc+ca=3$. Tìm hằng số k lớn nhất để bđt sau đúng:

$${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+kabc\ge 3+k$$

Chú ý: Với bài toán 2,ta có một số kết quả:

$k=6$: Hệ quả của bđt Schur
$k=7$: Bài toán đã được arqady giải ở Mathlinks
Tuy nhiên,$k=7$ không phải hằng số tốt nhất cho bđt trên.

$P_{G}(\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{n})=\frac{1}{|G|}\sum_{\tau\in G}ind(\tau)$


#2
vutung97

vutung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
Mình đọc trong sách của anh Phạm Kim Hùng thì hằng số tốt nhất ỏ bài một là 15/4 nhưng ko hiểu tại sao. Chỉ biết là chọn a=b=1,5, c=0 có ai bik giải thích cho mình đc ko

#3
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Bài toán 1: Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm hằng số k lớn nhất để bđt sau đúng:
$${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+kabc\ge 3+k$$
Bài toán 2: (Stranger411)Cho các số thực không âm a,b,c thỏa $ab+bc+ca=3$. Tìm hằng số k lớn nhất để bđt sau đúng:

$${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+kabc\ge 3+k$$

 

Bài $k_{\max} = \frac{15}{4}$ nó chính là bất đẳng thức Schur bậc ba và từng là đề thi Olympic 30/4. Còn bài 2 $k_{\max} = 6\sqrt{3}-3.$ Với hằng số này xét

\[P = \left[{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+(6\sqrt{3}-3)abc\right]^2-4(ab+bc+ca)^3.\]

Ta có

\[P = \sum (a^2+bc) \sum a^2(a-b)(a-c) + 6(2\sqrt{3}-3)abc(a+b+c)\sum (a^2-bc) +12abc\sum a(a-b)(a-c).\]

Dễ thấy $P$ không âm nên ta có điều phải chứng minh.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh