Chủ đề này có 1 trả lời

[tranhydong]

1/ Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O).Gọi A',B',C',D, lần lượt là trọng tâm của tam giác BCD , tam giác CDA , tam giác DAB và tam giác ABC .
a/ CMR : AA',BB',CC',DD' đồng qui tại 1 điểm
b/ A',B',C',D' cùng thuộc 1 đường tròn
c/Gọi trung điểm của AB,BC,CD,DA là M,N,K,Q . CMR : các đường thẳng kẻ từ M,N,K,Q lần lượt vuông góc với các đường thẳng CD, DA ,AB,BC cắt nhau tại 1 điểm

[perfectstrong]

Lời giải:
a) Gọi E,F thứ tự là trung điểm BD,AC. Gọi I là trung điểm EF. Ta sẽ cm AA' qua I. Dễ thấy C,A',E thẳng hàng.
Thật vậy, xét $\vartriangle CFE$ có:
\[
\frac{{IE}}{{IF}}.\frac{{AF}}{{AC}}.\frac{{A'C}}{{A'E}} = 1.\frac{1}{2}.2 = 1
\]
Do đó, theo định lý Menelaus đảo, ta có AA' qua I. Tương tự, BB',CC', DD' qua I. Vậy ta có đpcm.

b) Trên tia đối tia IO, lấy O' sao cho $\dfrac{IO'}{IO}=\dfrac{1}{3}$
$\dfrac{IO'}{IO}=\dfrac{IB}{IB'}=\dfrac{1}{3} \Rightarrow B'O' \parallel BO$
$\Rightarrow \dfrac{O'B'}{OB}=\dfrac{IO'}{IO}=\dfrac{1}{3} \Rightarrow O'B'=\dfrac{1}{3}R$
Tương tự, suy ra $O'A'=O'B'=O'C'=O'D' \Rightarrow Q.E.D$
c)

Vẽ đường thẳng qua P vuông góc với AB cắt đường thẳng qua M vuông góc với CD tại J.
$PJ \perp AB; OM \perp AB \Rightarrow PJ \parallel OM$. Tương tự $MJ \parallel OP$
$\Rightarrow$ MJOP là hình bình hành. $\Rightarrow$ MP cắt JO tại trung điểm L của 2 cạnh.
Mặt khác, dễ thấy MNPQ là hình bình hành nên L cũng là trung điểm QN.
Suy ra JNOQ là hình bình hành $\Rightarrow QJ \parallel ON \Rightarrow \perp BC$
Tương tự $NJ \perp AD$. Vậy ta có đpcm.