Mặt phẳng $(P)$ có vector pháp tuyến: $\overrightarrow{n}=(1;1;0)$, đường thẳng $(d)$ có vector chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;-2;0)$ và đi qua điểm $M_0(2;0;1)$
Vector chỉ phương của đường thăng $(\Delta)$ là:
$$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{n}\wedge \overrightarrow{u}=-3(0;0;1)$$
Giả sử $(\Delta)$ đi qua điểm $M(x;y;z)$. Khi đó:
$$\sqrt 5 = d_{\left ((\Delta),(d) \right )}=\frac{\left | \left [ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right ].\overrightarrow{M_0M} \right |}{\left | \left [ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right ] \right |} = \frac{\left | -2x+4-y \right |}{\sqrt5}$$
Ta có hai trường hợp:
*TH1:
$$\left \{ \begin{matrix}2x+y-4=5\\ x+y-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow M(4;1;0)$$
*TH2:
$$\left \{ \begin{matrix}2x+y-4=-5\\ x+y-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow M(-6;11;0)$$
Vậy ta có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán:
$$(\Delta_1): \left \{ \begin{matrix}x=4\\ y=1\\z=t \end{matrix}\right. , (\Delta_2): \left \{ \begin{matrix}x=-6\\ y=11\\z=t' \end{matrix}\right.$$