Chủ đề này có 1 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán :
cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho $a+b+c=3$ . Chứng minh rằng :
$$(ab+bc+ca)\left (\dfrac{a}{b^2+9}+\dfrac{b}{c^2+9}+\dfrac{c}{a^2+9}\right ) \le \dfrac{9}{10}$$

[duongvanhehe]

ta có:$\sum \frac{a}{b^{2}+9}\leq \sum \frac{a}{2b+8}$
nên ta cần phải chứng minh:$(ab+bc+ca)\sum \frac{a}{b+4}\leq \frac{9}{5}$
sử dụng hằng đẳng thức:
$\sum \frac{a}{4+b}=\sum \left ( 1-\frac{2b+c+1}{4+b} \right )\leq 3-\frac{(3(a+b+c)+3)^{2}}{\sum (4+b)(2b+c+1)}$
khai triển và rút gọn,bđt trên $\Leftrightarrow \left ( 3-\frac{48}{23-(ab+bc+ca)} \right )(ab+bc+ca)\leq \frac{9}{5} \Leftrightarrow \frac{t(21-3t)}{23-t}\leq \frac{9}{5}\Leftrightarrow \frac{(t-3)(5t-23)}{5(23-t)}\geq 0$
với $t=ab+bc+ca\leq 3$ nên bất đẳng thức ở trên luôn đúng.
đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$