Chủ đề này có 9 trả lời

[Zaraki]

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU

NĂM HỌC 2011-2012

-------------------------------------

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

_______________________________

Câu 1. (7,0 điểm)
a) Giải phương trình $$\sqrt{3x}+ \sqrt{15-3x}=\sqrt{8x-5}.$$
b) Giải hệ phương trình $$\begin{cases} xy+x+y=3 \\ \dfrac{1}{x^2+2x}+ \dfrac{1}{y^2+2y}= \dfrac 2 3. \end{cases}$$

Câu 2. (3,0 điểm) Tìm các số nguyên $x$ và $y$ thoả mãn $$5x^2+2xy+y^2-4x-40=0$$

Câu 3. (6,0 điểm) Cho đường tròn $(O) $ và đường thẳng $d$ cố định ($(O)$ và $d$ không có điểm chung).$M$ là điểm di động trên $d$. Vẽ hai tiếp tuyến $MA,MB$ phân biệt và cát tuyến $MCD$ của $(O)$ ($A,B$ là tiếp điểm, $C$ nằm giữa $M$ và $D$, $CD$ không đi qua $(O)$).Vẽ dây $DN$ của $(O)$ song song với $AB$. Gọi $I$ là giao điểm của $CN$ và $AB$. Chứng minh rằng
a) $\dfrac{IC}{IA}= \dfrac{BC}{BD}$ và $IA=IB$.
b) Điểm $I$ luôn thuộc một đường cố định khi $M$ di động trên đường thẳng $d$.

Câu 4. (2,0 điểm) Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)} \ge abc+\sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$$

Câu 5. (2,0 điểm) Cho một đa giác lồi có chu vi bằng $1$. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính $\frac{1}{4}$ chứa đa giác đó.

----------------- Hết -----------------

[L Lawliet]

Câu 2.(3,0 điểm) Tìm các số nguyên $x$ và $y$ thoả mãn $$5x^2+2xy+y^2-4x-40=0$$

Câu này chắc cho điểm
Câu 2.
$$PT\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+4x^2-4x+1=41\Leftrightarrow (x+y)^2+(2x-1)^2=41$$
Mà $41=16+25=4^2+5^2$
Mặt khác $(2x-1)^2$ là 1 số chính phương lẻ nên $(2x-1)^2=25\Leftrightarrow (2x-1)=\pm 5\Leftrightarrow x=3\vee x=-2$
Thay 2 giá trị $x$ vừa tìm được vào phương trình:
$$(x+y)^2=16\Leftrightarrow (x+y)=\pm 4$$
Đáp số: $(x;y)=(3;1);(3;-7);(-2;6);(-2;-2)$

[minhtuyb]

Câu 2. (3,0 điểm) Tìm các số nguyên $x$ và $y$ thoả mãn $$5x^2+2xy+y^2-4x-40=0$$

SOLUTION:
$$pt\Leftrightarrow (x^2+2xy+y^2)+(4x^2-4x+1)=41\\ \Leftrightarrow (x+y)^2+(2x-1)^2=41=4^2+5^2$$
-Vì $2x-1$ lẻ nên ta xét các trường hợp:
$$+)\left\{\begin{matrix}x+y=4\\2x-1=5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=3\\y=1 \end{matrix}\right.$$
$$+)\left\{\begin{matrix}x+y=4\\2x-1=-5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=-2\\y=6 \end{matrix}\right.$$
$$+)\left\{\begin{matrix}x+y=-4\\2x-1=5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=3\\y=-7 \end{matrix}\right.$$
$$+)\left\{\begin{matrix}x+y=-4\\2x-1=-5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=-2\\y=-2 \end{matrix}\right.$$
Vậy pt đã cho có nghiệm $(x;y)=(3;1);(-2;6);(3;-7);(-2;-2)$

OTHER SOLUTION:
$$pt\Leftrightarrow y^2+2xy+5x^2-4x-40$$
Coi phương trình trên là pt bậc 2 ẩn $y$, tham số $x$. Để pt có nghiệm thì:
$$\Delta' =-4x^2+4x+40\ge 0\\ \Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{41}}{2}\le x\le \frac{1+\sqrt{41}}{2}\\ \Leftrightarrow -2\le x\le 3 \text{Do x nguyên}$$
-Thay lần lượt các giá trị của $x$ ta cũng tìm được các bộ số trên

P/s: Chậm chân

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 31-05-2012 - 09:13

[Ispectorgadget]

Câu 4. (2,0 điểm) Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)} \ge abc+\sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$$

(KMO Winter Program Test 2001)
Chia 2 vế cho abc ta có
$$\sqrt{(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b})(\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c})}\geq 1+\sqrt[3]{(\frac{a^2}{bc}+1)(\frac{b^2}{ac}+1)(\frac{c^2}{ab}+1)}$$

Đặt $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$. Ta có $xyz=1$. Nên BĐT trên $$\iff\sqrt{(x+y+z)(xy+xz+yz)}\geq 1+\sqrt[3]{(\frac{x}{z}+1)(\frac{y}{z}+1)(\frac{z}{y}+1)}$$
Do $xyz=1$ nên ta có $$(\frac{x}{y}+1)(\frac{y}{z}+1)(\frac{z}{y}+1)=(\frac{x+z}{z})(\frac{x+y}{x})(\frac{x+y}{y})=(x+y)(x+z)(y+z)$$

$$\iff (x+y+z)(xy+xz+yz)=(x+y)(x+z)(y+z)+xyz=(x+y)(y+z)(z+x)+1$$
Đặt $p=\sqrt[3]{(x+y)(x+z)(y+z)}$, BĐT cần cm tương đương $\sqrt{p^3+1}\geq 1+p$. Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$p\geq \sqrt[3]{2\sqrt{xy}2\sqrt{yz}2\sqrt{xz}}=2$
BĐT trên tương đương $(p^3+1)-(1+p)^2=p(p+1)(p-2)\geq 0$
Ngoài ra còn 1 cách là dùng Chuẩn hóa. Có thể tham khảo trong topic BĐT THCS 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 31-05-2012 - 09:28

[L Lawliet]

Câu 1.(7,0 điểm)

a) Giải phương trình $$\sqrt{3x}+ \sqrt{15-3x}=\sqrt{8x-5}.$$

Chém câu dễ này luôn nhé :"))
Câu 1.
a) ĐKXĐ: $\frac{5}{8}\leq x\leq 5$
$$PT\Rightarrow (\sqrt{3x}+\sqrt{15-3x})^2=(\sqrt{8x-5})^2$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{9x(5-x)}=4x-10$$
$$\Rightarrow 9x(5-x)=(4x-10)^2$$
(ĐK: $\frac{5}{2}\leq x$)
$$\Leftrightarrow x^2-5x+4=0\Leftrightarrow (x-1)(x-4)=0\Leftrightarrow x=1\vee x=4$$
Ta nhận giá trị $x=4$ thỏa mãn ĐK

[Poseidont]

Ai vẽ em cái hình nhé , Câu 3
a/$DN // AB \Rightarrow AN=BD$
Ta có $\triangle AIN \sim \triangle CIB \Rightarrow\frac{ IC}{IA}=\frac{BC}{AN}=\frac{BC}{BD}$ (1)
Theo tính chất của tứ giác " đẹp " ta có $\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{BD}$ (2)
Mặt khác$\triangle BIC \sim \triangle ACD \Rightarrow\frac{ IC}{IB}=\frac{AC}{AD}$ (3)
Từ (1),(2),(3) $\Rightarrow IA=IB$
b/ Dễ dàng chứng minh M,I,O thẳng hàng, kẻ OK vuông góc với d, gọi giao điểm của OK với AB là H
$OH.OK=OI.OM=AO^2=R^2\Rightarrow OH=\frac{R^2}{OK}$ (k đổi)
nên N cố định suy ra I năm trên đường tròn đường kính OH

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Nghia: 31-05-2012 - 09:49

[minhtuyb]

Câu 1. (7,0 điểm)
b) Giải hệ phương trình $$\begin{cases} xy+x+y=3 \\ \dfrac{1}{x^2+2x}+ \dfrac{1}{y^2+2y}= \dfrac 2 3. \end{cases}$$

SOLUTION:
$$Hpt\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x+1)(y+1)=4\\\frac{1}{(x+1)^2-1}+\frac{1}{(y+1)^2-1}=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.$$
-Đến đây ta đặt $a=x+1;b=y+1$ thì hệ trên tương đương với hệ :
$$\left\{\begin{matrix}ab=4(1)\\\frac{1}{a^2-1}+\frac{1}{b^2-1}=\frac{2}{3}(2)\end{matrix}\right.$$
-Xét pt $(2)$:
$$(2)\\ \Leftrightarrow \frac{a^2+b^2-2}{a^2b^2-a^2-b^2+1}=\frac{2}{3}\\ \Leftrightarrow 3a^2+3b^2-6=2a^2b^2-2a^2-2b^2+2\\ \Leftrightarrow 5(a^2+b^2)=2a^2b^2+8$$
-Rút $ab$ từ $(1)$ thế vào pt trên, ta được:
$$5(a^2+b^2)=40\\ \Leftrightarrow (a+b)^2-2ab=8\\ \Leftrightarrow (a+b)^2=16\\ \Leftrightarrow a+b=4\vee a+b=-4$$
-Với $a+b=4;ab=4$. Theo viet đảo ta tìm được $a=b=2\Leftrightarrow x=y=1$
-Với $a+b=-4;ab=4$. Theo viet đảo ta tìm được $a=b=-2\Leftrightarrow x=y=-3$
Vậy hệ đã cho có nghiệm $(x;y)=(1;1);(-3;-3)$
------------------
P/s:@Mn: Dẹp nốt câu tổ hợp đi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 31-05-2012 - 09:50

[Poseidont]

Chuẩn hóa $abc=1$

Nhân ra, ta có

$(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)=\sum (ab)^3+\sum a^3+3=x$ suy ra $x\geq 9$

$(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)=\sum (ab)^3+\sum a^3+2=x-1$


Thay vào BĐT trên, ta phải chứng minh $\sqrt{x}\geq 1+\sqrt[3]{x-1}\Leftrightarrow \sqrt{x}-1\geq \sqrt[3]{x-1}$

$\Leftrightarrow x\sqrt{x}-3x+3\sqrt{x}-1\geq x-1\Leftrightarrow x+3\geq 4\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-3)\geq 0$ đúng vì $x\geq 9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Nghia: 31-05-2012 - 10:35

[perfectstrong]

http://diendantoanho...showtopic=59968

[yeutoan11]

đề ni bài tổ hợp thi AMS năm 2004/2005 dành cho khối chuyên toán tin
mình không muốn giải vì đã có trên mạng và tạp chi Toán học tuổi trể chũng mới đăng xong

1 là giải hai thì thôi , không muốn giải cũng nói