Chủ đề này có 1 trả lời

[ninhxa]

Cho n $\in N^*$ và d là ước nguyên dương của $3n^2$. Chứng minh rằng $n^2+d$ là số chính phương khi mà chỉ khi $d=3n^2$

[nguyenta98]

Cho n $\in N^*$ và d là ước nguyên dương của $3n^2$. Chứng minh rằng $n^2+d$ là số chính phương khi mà chỉ khi $d=3n^2$

Giải như sau:
Do $d|3n^2 \rightarrow dk=3n^2$
Suy ra $n^2+d=n^2+\dfrac{3n^2}{k}=x^2 \rightarrow (k+3).n^2=kx^2$
Nhận thấy $gcd(k+3,k)=gcd(3,k)=g \rightarrow g|3 \rightarrow g=1,3$
TH1: $g=3 \rightarrow k+3=3a, k=3b$ với $gcd(a,b)=1$
Như vậy $an^2=bx^2$ suy ra $b|an^2$ mà $gcd(a,b)=1 \rightarrow b|n^2 \rightarrow n^2=bp<1>$
Thay vào $an^2=bx^2$ suy ra $a.bp=b.x^2 \rightarrow x^2=ap <2>$
Từ $<1><2> \rightarrow x^2n^2=abp^2 \rightarrow p^2|x^2n^2 \rightarrow p|xn \dfrac{xn}{p} \in \mathbb{Z}$
Suy ra $(\dfrac{xn}{p})^2$ chính phương
Mặt khác $ab=(\dfrac{xn}{p})^2$ là chính phương mà $gcd(a,b)=1$ nên suy ra ngay $a=u^2,b=v^2$
Suy ra $k+3=3a=3u^2, k=3b=3v^2 \rightarrow k+3-k=3u^2-3v^2 \rightarrow (u-v)(u+v)=1$ đến đây ra $u=1,v=0 \rightarrow a=1 \rightarrow k=0$
Nhưng $k=0$ vô lý do $k$ là ước $3n^2$
TH2: $gcd(k+3,k)=1$ khi đó xét như trên nhưng lúc này $k+3=a,k=b$ tương tự cũng suy ra $a=u^2,b=v^2$
Suy ra $k+3-k=u^2-v^2 \rightarrow 3=(u-v)(u+v) \rightarrow u=2, v=1 \rightarrow k=1$
Như vậy suy ra $dk=3n^2 \leftrightarrow d=3n^2$ đpcm