Chủ đề này có 6 trả lời

[monrapper]

$\int_{0}^{1}\frac{1}{\left ( 1+x^{3} \right )\left ( 1+x^{3} \right )^{\frac{1}{3}}}dx$

Mod: Công thức phải ở trong

[color=#FF0000]$ $[/color]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanh3570883: 13-06-2012 - 21:06

[khanh3570883]

Đây là bài mở rộng của bài này:
${I_n} = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\left( {1 + {x^n}} \right)\sqrt[n]{{1 + {x^n}}}}}} $

Biến đổi về dạng:
${I_n} = \int\limits_0^1 {\frac{{\left[ {\left( {1 + {x^n}} \right) - {x^n}} \right]dx}}{{\left( {1 + {x^n}} \right)\sqrt[n]{{1 + {x^n}}}}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt[n]{{1 + {x^n}}}}}} - \int\limits_0^1 {\frac{{{x^n}dx}}{{\left( {1 + {x^n}} \right)\sqrt[n]{{1 + {x^n}}}}}} $

Xét tích phân: ${J_n} = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt[n]{{1 + {x^n}}}}}} $

Đặt:
$\left\{ \begin{array}{l}
u = \frac{1}{{\sqrt[n]{{1 + {x^n}}}}} \\
dv = dx \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = - {x^{n - 1}}{\left( {1 + {x^n}} \right)^{ - \frac{1}{n} - 1}}dx \\
v = x \\
\end{array} \right.$

Khi đó:
$\begin{array}{l}
{J_n} = \frac{x}{{\sqrt[n]{{1 + {x^n}}}}}\left| \begin{array}{l}
1 \\
0 \\
\end{array} \right. + \int\limits_0^1 {\frac{{{x^n}dx}}{{\left( {1 + {x^n}} \right)\sqrt[n]{{1 + {x^n}}}}}} \\
\Rightarrow {I_n} = \frac{1}{{\sqrt[n]{2}}} \\
\end{array}$

[khanh3570883]

Có một số tài liệu nó biến đổi thế này:
${I_n} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^{ - \left( {n + 1} \right)}}dx}}{{\left( {1 + {x^{ - n}}} \right)\sqrt[n]{{1 + {x^{ - n}}}}}}} = - \frac{1}{n}\int\limits_0^1 {{{\left( {1 + {x^{ - n}}} \right)}^{ - \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}}d\left( {1 + {x^{ - n}}} \right)} = \frac{x}{{\sqrt[n]{{1 + {x^n}}}}}\left| \begin{array}{l}
1 \\
0 \\
\end{array} \right. = \frac{1}{{\sqrt[n]{2}}}$

Tuy nhiên phép biến đổi trên là không tương đương do x nhận giá trị bằng 0 theo cận.

[monrapper]

nhưng mà cái mũ nó có giống nhau đâu??? cái n ấy

[khanh3570883]

nhưng mà cái mũ nó có giống nhau đâu??? cái n ấy

${\left( {1 + {x^3}} \right)^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{{1 + {x^3}}}$

Đây là tính chất cơ bản!
${a^{\frac{x}{y}}} = \sqrt[y]{{{a^x}}}$

[Crystal]

Đây là một lời giải bên mathlink


Ta có: \[\int {{{({x^3} + 1)}^{\frac{{ - 4}}{3}}}} dx = \int {{{({x^3} + 1)}^{\frac{{ - 4}}{3}}}} ({x^3} + 1 - {x^3})dx = \int {{{({x^3} + 1)}^{\frac{{ - 4}}{3}}}} ({x^3} + 1)dx + \int {{{({x^3} + 1)}^{\frac{{ - 4}}{3}}}} ( - {x^3})dx\]
\[ = \int {\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}} dx + \int {{{({x^3} + 1)}^{\frac{{ - 4}}{3}}}} ( - {x^3})dx = \frac{x}{{\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}}} - \int x d({({x^3} + 1)^{\frac{{ - 1}}{3}}}) + \int {{{({x^3} + 1)}^{\frac{{ - 4}}{3}}}} ( - {x^3})dx\]
\[ = \frac{x}{{\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}}} - \int x (\frac{{ - {{({x^3} + 1)}^{\frac{{ - 4}}{3}}}}}{3})(3{x^2})dx - \int {{{({x^3} + 1)}^{\frac{{ - 4}}{3}}}} ({x^3})dx\]
\[ = \frac{x}{{\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}}} + \int {{{({x^3} + 1)}^{\frac{{ - 4}}{3}}}} ({x^3})dx - \int {{{({x^3} + 1)}^{\frac{{ - 4}}{3}}}} ({x^3})dx = \frac{x}{{\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}}} + C\]
Do đó:
\[\int_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}({x^3} + 1)}}} = \int_0^1 {{{({x^3} + 1)}^{\frac{{ - 4}}{3}}}} dx = \left. {\frac{x}{{\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}}}} \right|_0^1 = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{1^3} + 1}}}} - \frac{0}{{\sqrt[3]{{{0^3} + 1}}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\]

[monrapper]

mình cũng giải dc theo cách này rối!! có vẻ nhân lượng liên hiệp là cách tối ưu cho dạng này