Chủ đề này có 4 trả lời

[QUANVU]

Cho $a,b,c$ là các cạnh của tam giác có chu vi không vượt quá $2\pi$. Chứng minh $\sin a,\sin b,\sin c$ là các cạnh của một tam giác.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 00:24
latex

[chagtraife]

ta có:

$a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác nên:        $a+b>c$

$b+c>a$

$c+a>b$

từ:$0<a+b+c<2\pi$

suy ra:$0<a,b,c<\pi$

 

 

$\sin a+\sin b=2\sin (\frac{a+b}{2})\cos (\frac{a-b}{2})$

 

 

ta có: $\left | \frac{\pi }{2} -\frac{a+b}{2} \right |<\left |\frac{\pi }{2}-\frac{c}{2} \right |$( cái này chứng minh khá đơn giản,bỏ trị tuyệt đối,....nên mình ko ghi phần chứng minh này nha!!)

 

và $0<\frac{c}{2}<\frac{\pi }{2}$

$0<\frac{a+b}{2}<\pi$

 

nên $\sin (\frac{a+b}{2})> \sin \frac{c}{2}$$\left ( 1 \right )$

 

 

mặt khác,ta cũng có:

 

$\left | \frac{a-b}{2} \right |<\frac{c}{2}$

và:$0< \frac{c}{2}< \frac{\pi }{2}$

$-\frac{\pi }{2}<\frac{a-b}{2}<\frac{\pi }{2}$(do $\left | \frac{a-b}{2} \right |<\frac{c}{2}$$<\frac{\pi }{2}$)

 

 

nên:$\cos (\frac{a-b}{2})> \cos \frac{c}{2}$$\left ( 2 \right )$

 

 

từ (1),(2) suy ra: $\sin a+\sin b>\sin c$

tương tự,ta cũng chứng minh được:$\sin b+\sin c>\sin a$

$\sin c+\sin a>\sin b$

 

vậy: $\sin a,\sin b,\sin c$ là các cạnh của một tam giác!

 

 

 

 

 

[ilovelife]

Bài này của anh/chú/bác QUANVU link qua từ China TST 2004 mà, còn được thảo luận ở AoPS

[vuminhhoang]

lời giải của mình là ntn:

 

giả sử

 

$ sina <sinb<sinc $ 
Nếu  thì  
do đó . 
Nếu $ \dfrac{a+b}{2}< \dfrac{\pi}{2} =>   sin\dfrac{a+b}{2} > sin\dfrac{c}{2} $ 
Nếu $ \dfrac{a+b}{2}\geq \dfrac{\pi}{2} =>  sin\dfrac{a+b}{2}>sin\dfrac{2\pi-c}{2}=sin\dfrac{c}{2}$ 
Suy ra 
$ sina+sinb=2sin\dfrac{a+b}{2}.cos\dfrac{a-b}{2} > 2sin\dfrac{c}{2}cos\dfrac{c}{2}=sinc $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuminhhoang: 25-05-2013 - 18:32

[PSW]

Chấm bài:

chagtraife: 10  điểm

vuminhhoang: 5 điểm