Chủ đề này có 2 trả lời

[Dung Dang Do]

Cho tam giác $ABC$, vẽ về phía ngoài tam giác $ABC$ các tam giác đều $ABN,BCM$, gọi $O$ là trọng tâm tam giác $ABN$, $P$ là trung điểm $AC$. Hỏi tam giác $OPM$ có tính chất gì?

[Beautifulsunrise]

Cho tam giác $ABC$, vẽ về phía ngoài tam giác $ABC$ các tam giác đều $ABN,BCM$, gọi $O$ là trọng tâm tam giác $ABN$, $P$ là trung điểm $AC$. Hỏi tam giác $OPM$ có tính chất gì?

[perfectstrong]

Lời giải THPT:

Gọi $H,J$ thứ tự là trung điểm $AB,AC$.
Ta có:
\[
3\overrightarrow {PO} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PN} = 2\overrightarrow {PH} + \overrightarrow {PH} + \overrightarrow {HN} = 3\overrightarrow {PH} + \overrightarrow {HN} = \frac{3}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {HN}
\]
Xét phép quay góc $-90^o$
\[
\begin{array}{l}
R^{ - 90^o } :\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {CB} \to \frac{2}{{\sqrt 3 }}\overrightarrow {JM} \\
\overrightarrow {HN} \to \frac{{\sqrt 3 }}{2}\overrightarrow {AB} \\
\end{array} \right. \\
\Rightarrow 3\overrightarrow {PO} = \frac{3}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {HN} \to \frac{3}{2}.\frac{2}{{\sqrt 3 }}\overrightarrow {JM} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\overrightarrow {AB} = \sqrt 3 \overrightarrow {JM} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.2\overrightarrow {PJ} = \sqrt 3 \left( {\overrightarrow {PJ} + \overrightarrow {JM} } \right) = \sqrt 3 \overrightarrow {PM} \\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
PO \bot PM \\
\frac{{PO}}{{PM}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\]
Suy ra $\vartriangle OPM$ là nửa tam giác đều.