1 reply to this topic

[Beautifulsunrise]

Cho hàm số y = $4x^3-mx$. Tìm m để $\left | y \right |\leq 1$ khi $\left | x \right |\leq 1$

[Crystal]

Cho hàm số y = $4x^3-mx$. Tìm m để $\left | y \right |\leq 1$ khi $\left | x \right |\leq 1$

$ \otimes $ Giả sử tồn tại $m$ để $\left| y \right| \le 1,\,\,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]$.

Khi đó $\left| y \right| \le 1$ cũng đúng với $x \in \left\{ { \pm 1; \pm \frac{1}{2}} \right\}$, hay:

\[\left\{ \begin{array}{l}
\left| {4 - m} \right| \le 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
\left| { - 4 + m} \right| \le 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\
\left| {\frac{1}{2} - \frac{m}{2}} \right| \le 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\
\left| { - \frac{1}{2} + \frac{m}{2}} \right| \le 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)
\end{array} \right.\]
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 1 \le 4 - m \le 1\\
- 1 \le - 4 + m \le 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le m \le 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right)$

Từ $\left( 3 \right),\left( 4 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2 \le 1 - m \le 2\\
- 2 \le - 1 + m \le 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le m \le 3\,\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right)$

Từ $\left( 5 \right),\left( 6 \right)$ suy ra $m = 3$.

$ \otimes $ Khi $m=3$ ta có: $y = 4{x^3} - 3x$

Do $x \in \left[ { - 1;1} \right]$ nên có thể đặt $x = \cos t$. Khi đó: $y = 4{\cos ^3}t - 3\cos t = c{\rm{os}}3t \Rightarrow \left| y \right| = \left| {c{\rm{os}}3t} \right| \le 1$

$ \otimes $ Kết luận: giá trị cần tìm là $m=3$


----------
Chú ý: Ở đoạn Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow ...$ và Từ $\left( 3 \right),\left( 4 \right) \Rightarrow....$ chỉ cần chọn một trong hai điều kiện ở mỗi cặp là được rồi.