Chủ đề này có 4 trả lời

[anh qua]

Tìm $n$ nguyên dương sao cho: $3^n+13$ là số chính phương!



@ anh Karl Henrich Marx and anh PSW : bài này hồi cấp 2 em post rồi nhưng mà khôngn ai giải! Em đang chờ đợi một lời giải sơ cấp! .

[chrome98]

Giải :

Nếu $n$ chẵn thì ta đưa về pt tích, không có nghiệm.

Nếu $n$ lẻ, ta thu được pt Pell $X^2-3Y^2=13$ và dãy các nghiệm của nó có dạng :

\[ \begin{cases} X_0=4, X_1=5, X_{n+2}=4X_{n+1}-X_n \\ Y_0=1, Y_1=2, Y_{n+2}=4Y_{n+1}-Y_n \end{cases} \]

Xét số dư của $(Y_i)$ cho $3$, ta không bao giờ nhận được số dư là $0$, nên trường hợp này chỉ có giá trị $Y_0=1=3^0$ thỏa mãn, nhận được $n=1$ và $3^n+13=16=4^2$.

Vậy $\boxed{n=1}$.

 

*pt Pell không biết có phải sơ cấp không các anh nhỉ ?   

 

 

[nguyenta98]

Giải :

Nếu $n$ chẵn thì ta đưa về pt tích, không có nghiệm.

Nếu $n$ lẻ, ta thu được pt Pell $X^2-3Y^2=13$ và dãy các nghiệm của nó có dạng :

\[ \begin{cases} X_0=4, X_1=5, X_{n+2}=4X_{n+1}-X_n \\ Y_0=1, Y_1=2, Y_{n+2}=4Y_{n+1}-Y_n \end{cases} \]

Xét số dư của $(Y_i)$ cho $3$, ta không bao giờ nhận được số dư là $0$, nên trường hợp này chỉ có giá trị $Y_0=1=3^0$ thỏa mãn, nhận được $n=1$ và $3^n+13=16=4^2$.

Vậy $\boxed{n=1}$.

 

*pt Pell không biết có phải sơ cấp không các anh nhỉ ?   

Cách giải này còn thiếu do dãy nghiệm Pell của bạn đã thiếu, bài này có tới $2$ dãy nghiệm cơ bạn ạ, bạn xem kĩ lại dãy nghiệm của pt Pell tổng quát nhé vì pt này là Pell tổng quát chứ k phải Pell loại I hay II nhưng dù sao ý tưởng rất tốt rồi, tuy nhiên Pell được coi là k sơ cấp bạn ạ, hì

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 03-04-2013 - 20:36

[chrome98]

Bài này không phải tầm thường. Trót quá tay 

[LNH]

Giải :

Nếu $n$ chẵn thì ta đưa về pt tích, không có nghiệm.

Nếu $n$ lẻ, ta thu được pt Pell $X^2-3Y^2=13$ và dãy các nghiệm của nó có dạng :

\[ \begin{cases} X_0=4, X_1=5, X_{n+2}=4X_{n+1}-X_n \\ Y_0=1, Y_1=2, Y_{n+2}=4Y_{n+1}-Y_n \end{cases} \]

Xét số dư của $(Y_i)$ cho $3$, ta không bao giờ nhận được số dư là $0$, nên trường hợp này chỉ có giá trị $Y_0=1=3^0$ thỏa mãn, nhận được $n=1$ và $3^n+13=16=4^2$.

Vậy $\boxed{n=1}$.

 

*pt Pell không biết có phải sơ cấp không các anh nhỉ ?   

Nhưng bạn làm sai rồi, $n=5$ cũng đúng mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 01-09-2013 - 22:35