Chủ đề này có 1 trả lời

[tranghieu95]

Ta gọi tập hợp các số nguyên dương C là tốt nếu với mọi số nguyên dương k thì tồn tại a,b khác nhau trong C sao cho (a+k;b+k)>1. Giả sử nếu ta có 1 tập tốt mà tổng các phần tử trong đó bằng 2003.
CMR; có thể loại đi 1 phần tử trong C sao cho tập còn lại vẫn tốt.

[Karl Heinrich Marx]

Giả sử mỗi số $k$ xác định cho ta 1 cặp $a,b$ thuộc tập $C$ sao cho $(a+k,b+k)>1$. Trước tiên ta chứng minh tồn tại một số nguyên tố $p$ thỏa mãn tồn tại hai hệ thặng dư đầy đủ của $p$ trong $C$. Thật vậy số ước nguyên tố của các hiệu 2 số trong $C$ là hữu hạn giả sử chúng là $p_1,p_2,..,p_n$, nếu với mỗi $1 \le i \le n$ tồn tại $a_i$ sao cho không có 2 số nào trong $C$ cùng đồng dư $a_i$ mod $p_i$ thì theo đl thặng dư Trung Hoa tồn tại $k$ sao cho $k \equiv -a_i (mod p_i)$ và do đó không tồn tại cặp số nào thỏa mãn với $k$. Vậy phải luôn tồn tại 2 hệ thặng dư đầy đủ mod p với $p$ là một số nguyên tố nào đó.
Như vậy tồn tại $C'$ là con của $C$ sao cho $C'$ chỉ gồm $p$ cặp sao cho 2 số trong 1 cặp đồng dư với $p$ và $p$ cặp này tạo thành 1 hệ thặng dư đầy đủ mod p. Tập $C'$ hoàn toàn thỏa đề bài. Ta chỉ cần cm $ C\C' \ne \phi$ là xong. Điều này chỉ cần dựa vào tổng của chúng vì 2003 là số nguyên tố mà tổng các phần tử trong $C'$ chia hết cho $p$ lớn hơn $p$ nên suy ra $C\C'$ khác rỗng.