Chủ đề này có 2 trả lời

[anh qua]

Pro: Cho $p$ là số nguyên tố sao cho: $p^2 | 2^p-2$. Gọi $q$ là ước nguyên tố lớn nhất của $2^p-1$ Chứng minh rằng: $2^q \geq (6p)^p$

- Gabriel Dospinescu-

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 26-06-2012 - 18:41

[lamNMP01]

Xét q là ước nguyên tố lớn nhất của $2^p-1$. GỌi $q_j$ là ước của $2^p-1$ xét $q_j=1=pm_j$.

$2^p-1$ chia hết cho $q_j$. Nên $2^{p+1}-2$ chia hết cho $q_j$. Ta có $q_j$ đồng dư 1 hoặc 7 mod 8.

 

Mà do $p^2$ là ước của $2^{p-1}-1$ nên là ước của $2^{p}-2 . Viết lại theo phân tích tiêu chuẩn : $p^2$ là ước của tích chạy từ 1 đến r của $(1+pm_j)^{a_j}-1$

Vậy tổng tuyến tính $m_ja_j$ với j chạy từ 1 đến r chia hết cho p. Từ đây , ta có $m_j$ đồng dư 0 hoặc 6 theo mod $8$ nên $m_j$ lớn hơn hoặc bằng 6. 

 

 

 

Vậy ta có $2^p >= (6p)^{a_1+.........+a_r}$ với m= MAX{$m_j$}. nên ta dễ dàng có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamNMP01: 09-05-2017 - 08:23

[Donald Trump]

Lời giải trên AoPS : https://artofproblem...1134627p5301403