Chủ đề này có 4 trả lời

[donghaidhtt]

Cho 2 số dương a, b thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\\ a^{100}+b^{100}=a^{102}+b^{102} \end{matrix}\right.$
Tính $P=a^{104}+b^{104}$

[nguyenta98]

Cho 2 số dương a, b thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\\ a^{100}+b^{100}=a^{102}+b^{102} \end{matrix}\right.$
Tính $P=a^{104}+b^{104}$

Bài này có nhiều cách giải nhưng mình khám phá được một cách cực hay dùng xuống thang
Giải như sau:
Ta thu gọn hệ phương trình $a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}$
Xét
$(a^{101}+b^{101})(a+b)=(a^{100}+b^{100})(a+b)=a^{101}+b^{101}+ab(a^{99}+b^{99})$
$=a^{102}+b^{102}+ab(a^{99}+b^{99})$ $(1)$
Mặt khác $(a^{101}+b^{101})(a+b)=a^{102}+b^{102}+ab(a^{100}+b^{100}$ $(2)$
Từ $(1)(2) \Rightarrow a^{99}+b^{99}=a^{100}+b^{100}$
Tiếp tục làm như vậy cho đến khi được $a+b=a^2+b^2=a^3+b^3=...=a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}$
Xét $(a^2+b^2)(a+b)=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=a^3+b^3+2ab$
$\Rightarrow (a^2+b^2)(a+b)=a^3+b^3+2ab \Rightarrow a+b=2$
Do đó $2=a+b=a^2+b^2$ giải ra được $a=b=1$
Vậy $\boxed{P=a^{104}+b^{104}=1+1=2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 01-07-2012 - 01:12

[ElenaIP97]

Cho 2 số dương a, b thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\\ a^{100}+b^{100}=a^{102}+b^{102} \end{matrix}\right.$
Tính $P=a^{104}+b^{104}$

$\left\{\begin{matrix} a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\\ a^{100}+b^{100}=a^{102}+b^{102} \end{matrix}\right.$
Trừ vế vs vế, ta có: $a^{102}+b^{102}-a^{101}-b^{101}=0$
$\Rightarrow a^{101}(a-1)+b^{101}(b-1)=0$ (1)

ta có: a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}
$\Rightarrow a^{101}+b^{101}-a^{100}-b^{100}=0$
$\Rightarrow a^{100}(a-1)+b^{100}(b-1)=0$ (2)

trừ vế vs vế của (1) và (2): $\Rightarrow a^{100}(a-1)^{2}+b^{100}(b-1)^{2}=0$

mà $a^{100}(a-1)^{2}\geq 0, b^{100}(b-1)^{2}\geq 0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \begin{bmatrix} a=1\\a=0 \end{bmatrix} \\\begin{bmatrix} b=1\\ b=0 \end{bmatrix} \end{matrix}\right.$

Do a, b dương $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\b=1 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow P=1^{104}+1^{104}=1+1=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ElenaIP97: 01-07-2012 - 17:21

[NLT]

Cho 2 số dương a, b thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\\ a^{100}+b^{100}=a^{102}+b^{102} \end{matrix}\right.$
Tính $P=a^{104}+b^{104}$

Bài này có nhiều cách giải nhưng mình khám phá được một cách cực hay dùng xuống thang

$\left\{\begin{matrix} a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\\ a^{100}+b^{100}=a^{102}+b^{102} \end{matrix}\right.$

Lời giải khác :
Áp dụng Cauchy-Schwarz:
$\left( {{a^{102}} + {b^{102}}} \right)\left( {{a^{100}} + {b^{100}}} \right) \ge {\left( {{a^{101}} + {b^{101}}} \right)^2}$
Dễ thấy từ giả thiết, ta suy ra được BĐT trên trở thành đẳng thức, tức là:
${a^2} = {b^2} \to a = b\left( {a,b > 0} \right)$
Lúc này thế vào hệ đã cho và giải, kết hợp với điều kiện $a,b>0$, suy ra ngay $a=b=1$ $\to P=2$
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 02-07-2012 - 08:52

[NLT]

Mở rộng cho vấn đề này:

Cho $a,b>0$, thỏa $\left\{ \begin{array}{l}
{a^n} + {b^n} = {a^{n + 1}} + {b^{n + 1}} \\
{a^n} + {b^n} = {a^{n + 2}} + {b^{n + 2}} \\
\end{array} \right.\left( {n \in {Z^ + }} \right)$
Tính $T=a^m+b^m (m \in N)$

Giải hoàn toàn tương tự !
___

@nguyenta98: Hê hê, cả cách của anh và của bạn
ElenaIP97

Đều không áp dụng được cho số âm, còn em thì áp dụng dc he he, ngẫm xem, em có dùng tí BDT nào đâu, số học thuần túy =))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 02-07-2012 - 20:27