Chủ đề này có 1 trả lời

[dangtiger585]

Cho tam giác ABC vuông, lấy 1 điểm M nằm trong tam giác ABC kẻ MJ vuông góc với AB, MI vuông góc với AC, MK vuông góc với BC. Tìm vị trí của M sao cho $MJ^2+MI^2+MK^2$ nhỏ nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 28-07-2012 - 11:22

[triethuynhmath]

cho tam giác ABC vuông, lấy 1 điểm M nằm trong tam giác ABC kẻ MJ vuông góc với AB, MI vuông góc với AC, MK vuông góc với BC. Tìm vị trí của M sao cho MJ²+MI²+MK² nhỏ nhất.

Mình làm bài này:
Từ giả thiết dễ suy ra MIAJ là hình chữ nhật.
=> $MI^2+MJ^2=MA^2$=>$MI^2+MJ^2+MK^2=MA^2+MK^2$
Vẽ đường cao AH của tam giác ABC.Gọi L là hình chiếu của M lên AH=> MKHL là hình chữ nhật=> $MK=HL$.Dễ nhận thấy $MA\geq AL$(t/c đường xiên,đường vuông góc)
=>$MA^2+MK^2\geq AL^2+LH^2\geq \frac{(AL+LH)^2}{2}=\frac{AH^2}{2}$(Không đổi)
Dấu = xảy ra khi M là trung điểm AH